Решения задач из варианта № 125 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  оплате  услуг  через  платежный  терминал  взимается  комиссия  5%.  Терминал   принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного  телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в  приемное устройство данного терминала? 

Решение: 

Аня должна будет положить в терминал \(300*105/100=315\) рублей. Так как терминал принимает суммы, кратные 10 рублям, то Аня отдаст 320 рублей.

Ответ 320.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике  показан  процесс  разогрева  двигателя  легкового  автомобиля.  На  оси абсцисс  откладывается  время  в  минутах,  прошедшее  от  запуска  двигателя,  на  оси ординат    –  температура    двигателя  в  градусах  Цельсия. Определите  по  графику, сколько  минут двигатель нагревался от температуры 600C до температуры 900C.

Решение: 

Из графика видно, что этот процесс занял 3 минуты

Ответ 3.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Площадь правильного шестиугольника равна 72. Найдите площадь закрашенного четырехугольника.

Решение: 

Шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.

Закрашенный прямоугольник занимает 4 из 6 таких треугольников, тогда его площадь равна \(72*4/6=48.\)

Ответ 48.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вероятность  того,  что  новый  DVD-проигрыватель  в  течение  года  поступит  в  гарантийный  ремонт,  равна  0,045.  В  некотором  городе  из  1000  проданных  DVD-проигрывателей  в  течение  года  в  гарантийную  мастерскую  поступила  51  штука. На сколько отличается частота события «гарантийный  ремонт» от его вероятности в этом  городе?

Решение: 

Согласно классическому определению вероятности имеем: \(P=51/1000=0.051.\) Тогда разница составляет 0.006.

Ответ 0.006.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \({x+11 \over x-12}={x+11\over x-13}.\)

Решение: 

Корень уравнения \(x=-11.\)

Ответ -11.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Известно,  что  \(\angle CAD=52^o, \angle BCD=63^o.\)  Найдите    \(\angle CDB.\) Ответ  дайте  в градусах. 

Решение: 

Углы CAD, BCD и CDB являются вписанными и равны половине градусной меры дуги, на котороую опираются. Тогда можно легко найти искомый угол, зная, что вся окружность - это 360 градусов.

Тогда \(\angle CDB=(360-(52+63)*2)/2=65^o.\)

Здесь учли, что дуги BAC и BDC в сумме дают всю окружность, то есть 360 градусов.

Ответ 65.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 Функция \(y=f(x)\) определена на отрезке [‐2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика  функции  \(y=f(x)\),  в  которой  она  принимает  наименьшее  значение. 

Решение: 

Из графика производной видим, что она отрицательна до точки с абсциссой \(x = 1\) и положительна после этой точки (в ней она равна нулю). Значит, сначала функция убывает, достигает минимума в точке \(x = 1\) и затем возрастает.

Ответ 1.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Объем фужера, имеющего форму конуса, равен  240 мл. В фужер налили лимонад, при этом уровень жидкости составил \({1\over 4}\) высоты. Сколько миллилитров лимонада нужно долить в  фужер, чтобы он оказался полон? 

Решение: 

Объем конуса равен \(V_k={1\over 3}\pi R^2H,\) объем лимонада равен \(V_l={1\over 3}\pi r^2h.\) Высоты относятся как 1 к 4, радиусы так же в силу подобия треугольников, являющихся сечением этих конусов. Тогда \(V_l={1\over 3}\pi {R^2\over 16}{H\over 4}=V_k/64=3.75.\)

Тогда долить нужно 236.25 миллилитров лимонада.

Ответ 236.25.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({\sqrt 2-\sqrt{72} \over \sqrt {32}}.\)

Решение: 

\({\sqrt 2-\sqrt{72} \over \sqrt {32}}={\sqrt 2-6\sqrt 2\over 4\sqrt 2}={1-6\over 4}=-1.25.\)

Ответ -1.25.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

По  закону  Ома  для  полной  цепи  сила  тока,  измеряемая  в  амперах,  равна \(I={\epsilon\over {R+r}}\) , где  ε – ЭДС  источника (в вольтах), r=2,5 Ом –  его  внутреннее  сопротивление,  R  –  сопротивление  цепи  (в  омах).  При  каком наименьшем  сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 25% от силы тока короткого  замыкания  \(I_{к.з.}={\epsilon\over r}\)?  (Ответ выразите в омах)

Решение: 

Составим уравнение исходя из условия задачи и найдем неизвестное сопротивление: \({\epsilon\over {R+r}}=0.25{\epsilon\over r} \Rightarrow 4r=r+R \Rightarrow \\ \Rightarrow r=3r=7.5 Ом.\) 

Ответ 7.5

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Два  мотоциклиста  стартуют  одновременно  в  одном  направлении  из  двух  диаметрально противоположных точек  круговой  трассы,  длина  которой  равна  14   км.  Через  сколько  минут  мотоциклисты  поравняются в первый раз, если скорость  одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? 

Решение: 

Пусть время до встречи t часов, а скорость первого мотоцикла \(x\)км/ч. Тогда первый мотоцикл проехал расстояние (красная линия) \(xt\) км, а второй \((xt+7)\) км. При этом он проехал \((x+21)t\) км (зеленая линия), так как его скорость выше скорости первого на 21 км/ч. Составим уравнение и решим его относительно \(t\): \(xt+7=(x+21)t \Rightarrow xt+7=xt+21t \Rightarrow t=1/3=20 минут.\)

Ответ 20.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(f(x)={x^2+16 \over x}\) на отрезке \([2; 5].\)

Решение: 

Алгоритм простой - ищем производную, находим ее нули (критические точки). Находим значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они попадют в отрезок. Далее определеяем наименьшее значение из найденных.

\(f^\prime(x)={2xx-x^2-16 \over x^2} \Rightarrow f^\prime=0 \Rightarrow x=\pm 4.\) В отрезок \([2; 5]\) попадает точка \(x = 4.\) Тогда 

\(f(2)=10, \\ f(4)=8, \\f(5)=8.2.\)

Наименьшее значение \(f(x)=8.\)

Ответ 8.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(\sqrt{sinx+3}=-2sinx.\) 

а) решите уравнение.

б) укажите корни, принадлежащие отрезку \([0; 2\pi].\)

Решение: 

а) Первое - область определения или ОДЗ. Слева стоит квадратный корень, следовательно, выражение справа должно быть неотрицатально, то есть, \(-1<=sinx<=0.\)

Возведем уравнение в квадрат, получим \(sinx+3=4sin^2x \Rightarrow 4sin^2x-sinx-3=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow sinx=1, sinx=-3/4.\)

Первое решение \(sinx=1\) не подходит в силу ОДЗ. Тогда, решая второе уравнение относительно \(x \), имеем \(x=(-1)^{n+1}arcsin(3/4)+\pi n, \) \(n-\) целое. Осталось выбрать решения, удовлетворяющие ОДЗ.

\(n=0: x=-arcsin(3/4), \\n=1: x=\pi +arcsin(3/4),\\n=-1: x=arcsin(3/4)-\pi,\\n=2: x=2\pi-arcsin(3/4),\\n=-2: x=3\pi+arcsin(3/4),
\\n=3: x=3\pi +arcsin(3/4) ,\\... \)

Выбираем решения, удовлетворяющие ОДЗ. Это будут \(x=2\pi-arcsin(3/4)+2\pi n, x=\pi+arcsin(3/4)+2\pi n, n-\) целое.

б) В заданный отрезок попадают корни \(2\pi-arcsin(3/4), \pi+arcsin(3/4).\)

При желании корни можно отобразить на единичной окружности для наглядности.

Рисунок: 
Другие задачи темы: