Решения задач из варианта № 126 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной  кислоты.  Нужно  приготовить  12  пол-литровых  банок  маринада.  Лимонная  кислота   продается  в  пакетиках  по  10  г.  Какое  наименьшее  число  пачек лимонной кислоты  нужно  купить  хозяйке?

Решение: 

Хозяйке нужно приготовить 6 литров маринада, следовательно, ей нужно \(6*12=72\) грамма кислоты. Так как кислота продается в пакетиках по 10 г, то ей надо купить 8 пакетиков.

Ответ 8. 

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  диаграмме  показана  среднемесячная  температура  воздуха  в Екатеринбурге  за каждый  месяц  1972 года.  По горизонтали  указываются  месяцы,  по вертикали –  температура  в градусах  Цельсия.  Определите  по диаграмме,  какой  была  средняя  температура в самом холодном зимнем месяце.

Решение: 

Самый холодный месяц по диаграмме - январь. Средняя температура составила -25 градусов Цельсия. Это отмечено на диаграмме красным штрихом.

Ответ -25.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Площадь  круга,  изображенного  на  клетчатой  бумаге,  равна  48. Найдите площадь не закрашенного сектора.

Решение: 

Не закрашенный сектор составляет \(5/8\) от всей площади круга. Тогда его площадь равна \(48*5/8=30.\)

Ответ 30.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  турнире  чемпионов  участвуют  6  футбольных  клубов:  «Барселона»,  «Ювентус»,  «Бавария»,  «Челси»,  «Порту»  и  «ПСЖ».  Команды  случайным  образом  распределяют  на две группы по три команды. Какова вероятность того, что «Барселона» и «Бавария»  окажутся в одной группе?   

Решение: 

Пусть "Барселона" и "Бавария" должны попасть в первую группу. Вероятность того, что туда попадет "Барселона", равна \(3/6=1/2,\) так как в группе 3 места, а всего команд 6. Вероятность того, что в первую группу попадет и "Бавария", равна \(2/5,\) так как в группе уже осталось 2 места, а всего выбираем из 5 оставшихся команд. Следовательно, вероятность того, что обе команды попадут в первую группу, равна \({1\over 2}*{2\over 5}=0.2\). Так как группы две, то вероятности складываюся (обе команды попадут в первую ИЛИ во вторую группу). Тогда искомая вероятность равна 0.4.

Ответ 0.4.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В параллелограмме АВСD АК – биссектриса угла А, DM –  биссектриса  угла  D.  Найдите  длину  отрезка  КМ,  если  известны стороны параллелограмма АВ=3, АD=5. 

Решение: 

Треугольники ABK и MCD являются равнобедренными, тогда AB=BK=3 и MC=CD=3. Тогда KC=BM=BC-BK=5-3=2. Следовательно, MK=BC-BM-KC=5-2-2=1.

Ответ 1.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 Известно, что \(f(x)\) – нечётная периодическая функция  с  наименьшим  положительным  периодом,  равным  6.  На  рисунке  изображен  ее  график  на  отрезке  [‐3;  0].   Вычислите  \(7f(8)-8f(-7)\). 

Решение: 

Покажем, что такое свойства периодичности и нечетности на примерах.

Свойство периодичности: \(f(8)=f(6+2)=f(2),\) свойство нечетности: \(f(1)=-f(-1).\) Тогда для функции можно произвести следующие вычисления:

\(7f(8)-8f(-7)=7f(6+2)+8f(7)=\\=7f(2)+8f(6+1)=-7f(-2)+8f(1)=\\=-7f(-2)-8f(-1)=-15-8=-23.\)

Ответ -23.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке  (все двугранные углы многогранника прямые). 

Решение: 

Разобьем многогранник на 2 прямоугольных параллелепипеда, как показано на рисунке. Их объемы легко посчитать, зная высоту, ширину и длину.

Тогда искомый объем равен \(V=6*1*3+1*4*1=22.\)

Ответ 22.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({sin26^o-sin86^o\over 2sin34^o}.\)

Решение: 

\({sin26^o-sin86^o\over 2sin34^o}={2sin({26-86\over 2})cos({26+86 \over 2})\over 2sin34}=\\={-2sin30cos56\over 2sin34}=-{cos(90-34)\over 2sin34}=-{sin34\over 2sin34}=-0.5.\)

При вычислении выражения сначала использовали формулу разности синусов, а также свойство нечетности синуса, затем формулу приведения \(cos(90-\alpha)=sin\alpha.\)

Ответ -0.5.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При температуре 0°C рельс имеет длину \(l_0=12.5\) м. При возрастании температуры  происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется  по  закону  \(l(t^0)=l_0(1+\alpha t^0),\)  где  \(\alpha=1.2*10^{-5} (C^o)^{-1} -\) коэффициент  теплового  расширения,  \(t^0\) –  температура  (в  градусах  Цельсия).  При  какой  температуре  рельс  удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. 

Решение: 

Подставим известные величины в формулу и вычисим температуру \(t^0\). Нужо не забыть перевести все величины в единицы системы СИ.

\(12.506=12.5(1+1.2*10^{-5}t^0) \Rightarrow 1.2*10^{-5}t^0={12.506\over 12.5}-1 \Rightarrow \\ \Rightarrow t^0={12.506-12.5 \over 12.5*1.2}10^5=40.\)

Ответ 40.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Имеется два  сосуда. Первый  содержит  30 кг, а второй −  20 кг  раствора кислоты  различной  концентрации.  Если  эти  растворы  смешать,  то  получится  раствор,  содержащий  68%  кислоты.  Если  же  смешать  равные  массы этих  растворов,  то   получится  раствор,  содержащий  70%  кислоты.  Сколько  килограммов  кислоты  содержится во втором сосуде? 

Решение: 

Пусть \(x\)- % концентрация кислоты в первом растворе, а \(y\) - % концентрация кислоты во втором растворе. Из первого условия задачи составим первое уравнение: \(30x+20y=68*50 \Rightarrow 3x+2y=340.\)

Второе уравнение составим из второго условия, при этом будем считать, что каждого раствора взяли по \(z\) кг: \(x*z+y*z=2z*70 \Rightarrow x+y=140.\)

Второе уравнение умножим на 2 и вычтем из первого: \(x=340-280=60.\) Тогда \(y=80\) и во втором растворе было 16 кг кислоты.

Ответ 16.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку максимума функции \(y=x^2e^x.\)

Решение: 

Алгоритм таков: находим производную функции, приравниваем нулю и определяем критические точки. Далее необходимо проверить знаки производной на промежутках, на которые критические точки делят область определения функции. Если при переходе через критическую точку производная меняет свой знак с положительного на отрицательынй, то эта точка является точкой максимума функции (локальный экстремум).

\(y^\prime=2xe^x+x^2e^x \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=0, x=-2.\)

Имеем две критические точки. Проверим каждую на экстремум (сделайте самостоятельно). В итоге имеем, что точка \(x=-2\) является точкой максимума функции.

Ответ -2.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(5({1\over 5})^{cos2x}=5^{sin2x}.\)

а) решите уравнение,

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \((-{7\pi \over 2}; -2\pi).\)

Решение: 

a) 

\(5({1\over 5})^{cos2x}=5^{sin2x} \Rightarrow {5^{1-cos2x}\over 5^{sin2x}}=1 \Rightarrow 5^{1-cos2x-sin2x}=1 \Rightarrow \\ \Rightarrow 1-cos2x-sin2x=0 \Rightarrow 1-1+2sin^22x-2sinxcosx=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow sinx(sinx-cosx)=0 \Rightarrow sinx =0, tgx=0 \Rightarrow x=\pi n, x={\pi \over 4}+\pi n, \)

где \(n -\) целое.

б)

Корнями из интервала \((-{7\pi \over 2}; -2\pi)\) являются следующие числа \(-3\pi, -2{3 \over 4}\pi,\) которые вычисляются при подстановке в решение чисел \(n\).

Ответ

a) \(x=\pi n, x={\pi \over 4}+\pi n\).

б) \(-3\pi, -2{3 \over 4}\pi.\)

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?