Решения задач из варианта № 127 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Миша пригласил Машу в кафе. Маша заказала себе десерт по цене 76 руб. и кофе по цене 90 руб. Миша решил взять пиццу за 65 руб. и колу за 47 руб. Какую сдачу  (в рублях) получит с 500 руб. Миша, если он оплатит и свой заказ, и заказ Маши?

Решение: 

Рассчитаем сдачу, которую получит Миша: \(500-76-90-65-47=222\) рубля.

Ответ 222.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из пункта М в пункт N вышла Маша, а через 40 минут после этого из M в N вышел  Миша. Они двигались с постоянными скоростями и прибыли в пункт N одновременно.  На  рисунке  приведены  графики  движения  Маши  и  Миши.  По  оси  абсцисс  откладывается  время  в  минутах,  а  по  оси  ординат  –  расстояние  в  километрах.  Определите по графику, каким было расстояние между Машей и Мишей через 20 минут  после выхода Миши. Ответ дайте в километрах.

Решение: 

Судя по графику, расстояние между ними было 2 км.

Ответ 2

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  координатной  плоскости  задан  четырехугольник  АВСD.  Найдите  его  площадь,  если  А (‐1; ‐2),  В (‐3; 2),  С (5; 6), D(5; 1).

Решение: 

Площадь четырехугольника найдем следующим образом: площадь квадрата минус площадь прямоугольных треугольников. Тогда \(S=8*8-0.5*4*2-0.5*6*3-0.5*8*4=35.\)

Вам осталось только нарисовать картинку.

Ответ 35.

Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Мэр  Васюков  решил  провести  в  своем  городе  турнир  между  четырьмя  сильнейшими  шахматистами  планеты.  Для  этого  он  разослал  приглашения  гроссмейстерам А, B, С и D. Вероятность того, что А не приедет равна 0,3. Вероятность  того, что B примет приглашение равна 0,6. Гроссмейстеры С и D с равной вероятностью  могут  как  приехать  на  турнир,  так  и  отказаться  от  приглашения. Какова  вероятность,  что турнир четырех сильнейших гроссмейстеров в Васюках все же состоится? 

Решение: 

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Тогда вероятность того, что приедут все четыре гроссмейстера, равна \(P=0.7*0.6*0.5*0.5=0.105.\)

Ответ 0.105.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения  \(2\sqrt{x+1}=2-x.\) Если корней несколько, то в ответе  укажите больший из них. 

Решение: 

ОЗД (или область определения): \(-1<=x<=2.\) Возводим в квадрат обе части уравнения: \(4(x+1)=4-4x+x^2 \Rightarrow x^2-8x=0 \Rightarrow x=8, x=0.\) В ОДЗ подходит только корень \(x=0.\)

Ответ 0.

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. Найдите катет АС, если  \(AB=2\sqrt 5, tgA=0.5.\)

Решение: 

Используем определения синуса и тангенса в прямоугольном треугольнике. Затем вычислим свзяь между синусом и тангенсом.

\(AC=BC/tgA, BC=ABsinA \Rightarrow AC={ABsinA \over tgA}. \\ sinA={tg^2A \over {\sqrt{ 1+tg^2A}}} \Rightarrow AC={2\sqrt 5*{1\over \sqrt 5}\over 0.5}=4.\)

Ответ 4.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

К графику функции \(y=f(x)\) проведена касательная.   Определите значение производной функции в точке \(x_0\). 

Решение: 

Из геометрического определения производной - это тангенс угла наклона касательной, то есть отношение приращения функции к приращению аргумента. Следовательно, \(y^\prime(x_0)=-5/4=-1.25.\)

Ответ -1.25.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной  треугольной  пирамиде  сторона  основания  равна  3,  а  двугранный  угол  при  стороне  основания  равен  \(30^0\).  Найдите  площадь  боковой  поверхности пирамиды. 

Решение: 

Высота в правильной пирамиде падает в центр основания, то есть, в точку пересечения медиан, а они делятся этой точкой в отношении 2 к 1, считая от вершины. Сначала найдем меньшую часть медианы (обозначим за \(b\)), то есть, ее 1/3, а затем уже найдем апофему (обозначим через \(c\)) и тогда уже легко найдем площадь боковой поверхности. Сторону основания пирамиды обозначим за \(a\) .

Из правильного треугольника в основании пирамиды: \(b={1\over 3}\sqrt{a^2-{a^2 \over 4}}={\sqrt 3 \over 2}.\)

Далее имеем из прямоугольного треугольника с учетом определения косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе): \(c=b/cos30^0=1.\) Тогда площадь боковой поверхности равна \(S=3*({1\over 2})*a*c=1.5*1*3=4.5\).

Ответ 4.5.

 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({(\sqrt[7]{8}*\sqrt[3]{81})^{21}\over 18^{12}}.\)

Решение: 

\({(\sqrt[7]{8}*\sqrt[3]{81})^{21}\over 18^{12}}={(2^{3/7}*3^{4/3})^{21}\over 2^{12}*3^{24}}={2^9*3^{28}\over 2^{12}*3^{24}}={3^4\over 2^3}=10.125.\)

Ответ 10.125.

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t)=1.6+8t-5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько  секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров? 

Решение: 

Подставим все известные величины в формулу и найдем неизвестное время. Необходимо решить неравенство \(1.6+8t-5t^2>=3.\) Решим его.

\(5t^2-8t-1.4<=0 \Rightarrow 0.2<=t<=1.4.\) Следовательно, время, которое мяч будет на высоте не менее 3 метров, равно 1.2 с.

Ответ 1.2.

 

 

 

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Товарный поезд движется со скоростью 35 км/ч. По соседним путям его обгоняет  электричка,  идущая  со  скоростью  95  км/ч.  Длина  товарного  поезда  равна  780  м.  Найдите длину электрички  (в метрах), если известно, что мимо товарного поезда она  прошла за 54 секунды.

Решение: 

Поезд за 54 секунды проезжает \({35*54 \over 3600}\) км. Электричка же прозжает \({95*54 \over 3600}\)км. 

Электричка, чтобы опередить поезд, должна за это время проехать это же расстояние, плюс длину поезда, плюс свою длину, следовательно, составим уравнение, обозначим длину электрички через \(x\).

\({35*54 \over 3600}+{780 \over 1000}+x={95*54 \over 3600} \Rightarrow x=0.12.\)

Тогда длина электрички составляет 120 м.

Ответ 120.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение выражения \(x^2-x+y^2-y.\)

Решение: 

Выделим полные квадраты и найдем наименьшее значение: \(x^2-2*0.5*x+0.25-0.25+y^2-2*0.5*y+0.25-0.25=\\=(x-0.5)^2-0.25+(y-0.5)^2-0.25=(x-0.5)^2+(y-0.5)^2-0.5.\)

Тогда наименьшее значение будет при \(x=y=0.5\) и оно равно -0.5. Такой вывод делается, потому что значения в квадртах всегда больше или равны нуля, следовательно, их наименьшие значения это нули.

Ответ -0.5.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение: \({1+cos2x+\sqrt 2cosx\over 1+sinx}=0.\)

а) решите уравнение;

б) укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \([{3\pi \over 2}; 3\pi].\)

Решение: 

а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Тогда имеем \(1+cos2x+\sqrt 2cosx=0, \\ 1+sinx \neq 0.\) 

Решим первое уравнение и получим ОДЗ из второго условия.

\(sin^2x+cos^2x+cos^2x-sin^2x+\sqrt 2cosx=0 \Rightarrow 2cos^2x+\sqrt 2 cosx=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow cox=0, cox=-{\sqrt 2 \over 2} \Rightarrow x=\pm{\pi \over 2}+\pi n, x= \pm {\pi\over 4}+\pi n.\)

ОДЗ: \(x \neq {3\pi \over 2}+2\pi n , n-\) целое.

С учетом ОДЗ имеем решение уравнения: \(x={\pi \over 2}+\pi n, x=\pm {\pi \over 4}+\pi n, n -\)целое.

б) корни, которые принадлежат отрезку \([{3\pi \over 2}; 3\pi]:\) \({5\pi \over 2}, {11\pi \over 4}.\) Их легко найти, используя единичную окружность и подставляя в решение значения числа n.

Ответ  а) \(x={\pi \over 2}+\pi n, x=\pm {\pi \over 4}+\pi n, n -\) целое; б) \({5\pi \over 2}, {11\pi \over 4}.\)

 

Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

Решение: 

Вероятность того, что в первом матче первой будет владеть мячом команда А, равна 0.5. То же самое и для второго матча.

Тогда вероятность того, что в обоих матчах первой будет владеть мячом команда А, равна \(P=0.5*0.5=0.25.\)

Ответ 0.25.

Другие задачи темы: