Решения задач из варианта № 128 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Оптовая цена учебника 240 рублей. Магазин устанавливает розничную цену на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число учебников можно купить в магазине на 10000 рублей по розничной цене? 

Решение: 

Розничная цена одного учебника составляет \(240+240*0.2=288\) рублей. Тогда на 1000 рублей можно купить \(10000/288=34.7(2)\) учебников. То есть, можно купить 34 учебника.

Ответ 34.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 11 странах мира  (в  тысячах  тонн)  за  2009  год.  Среди  представленных  стран  первое  место  по  выплавке  меди  занимала  Франция,  одиннадцатое  место  –  Казахстан.  Какое  место  занимала  Греция?

Решение: 

Греция занимала 9 место. Это видно из диаграммы.

Ответ 9.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите площадь закрашенной фигуры   на координатной плоскости.

Решение: 

Достроим ромб до прямоугольника и найдем площадь ромба как разность площади прямоугольника и площадей прямоугольных треугольников и малых квадратов. Это свойство плоащди называется аддитивность.

Тогда \(S=4*4-1*1-1*1-4*0.5*3*1=16-2-6=8.\)

Ответ 8.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Стрелок  стреляет  по  мишени  один  раз.  В  случае  промаха  стрелок  делает  второй  выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна  0,8.  Найдите  вероятность  того,  что  мишень  будет  поражена  (либо  первым  либо  вторым выстрелом). 

Решение: 

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень с первого раза, равна 0.8. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень со второго выстрела, равна \(0.2*0.8\) (по теореме об умножении вероятностей двух независимых событий). Тогда вероятность того, что стрелок попадет либо с первого, либо со второго раза, равна \(P=0.8+0.2*0.8=0.96.\) Здесь использовали теорему о сложении вероятностей.

Ответ 0.96.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(\sqrt [3] {7-8x}=3.\)

Решение: 

\(\sqrt [3] {7-8x}=3 \Rightarrow 7-8x=27 \Rightarrow 8x=-20 \Rightarrow x=-2.5.\)

Ответ -2.5.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Хорды АВ и СD пересекаются в точке О. Найдите длину   хорды АВ, если известно, что DO=3, СО=4, ВО=5. 

Решение: 

Воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности: если две хорды окружности пересекаются в точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Следовательно, имеем \(AO*BO=CO*DO \Rightarrow AO=DO*CO/AO \Rightarrow \\ \Rightarrow AB=5+12/5=7.4.\)

Ответ 7.4.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  тангенс  угла,  который  образует  с  положительным  направлением  оси  абсцисс  касательная,  проведенная  к  графику  функции \(f(x)={{x+3}\over x-3}\),  в  точке \(x_0=-7\) этого графика. 

Решение: 

Из геометрического смысла производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику этой фукнции в этой точке. Тогда \(f^\prime(x)={{x-3-x-3}\over (x-3)^2}={{-6}\over (x-3)^2}.\) \(f^\prime(-7)=-6/100=-0.06.\)

Ответ -0.06.

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной  шестиугольной  пирамиде  сторона  основания  равна \(4\sqrt3\),  а  высота  равна  8.  Через  высоту  пирамиды  проведена  плоскость.  Найдите  наименьшую  площадь  сечения  пирамиды такой плоскостью. 

Решение: 

Наименьшая площадь сечения будет тогда, когда оно будет проходить через высоты треугольников, лежащих в основании. На самом деле, высота в треугольнике всегда короче любой наклонной линии, опущенной из вершины на противоположную сторону. Тогда, чтобы найти площадь этого сечения, надо найти высоты треугольников (правильные). Высота в правильном треугольнике совпадает с медианой, найдем ее, используя теорему Пифагора: \(h=\sqrt{(4\sqrt3)^2-(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4*9}=6.\) Тогда искомая площадь \(S=0.5*(2h)*H=h*H=48.\) Здесь за \(H\) обозначили высоту пирамиды и использовали формулу площади треугольника как половина произведения высоты на основание.

Ответ 48.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(log_{16} sin{\pi \over 12}+log_{16} cos{\pi \over 12}\).

Решение: 

Сначала сведем сумму логарифмов к их произведению, а затем используем формулу синуса двойного угла: \(log_{16} sin{\pi \over 12}+log_{16} cos{\pi \over 12}=log_{16}(sin{\pi \over 12}*cos{\pi \over 12})=\\=log_{16}(0.5sin{\pi\over 6})=log_{16}0.25=log_{2^4}2^{-2}={1\over4}*(-2)*log_2 2=-0.5.\)

Ответ -0.5.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие  глубины.  Конструкция  имеет  кубическую  форму,  а  значит, действующая  на  аппарат  выталкивающая  (архимедова)  сила,  выражаемая  в  ньютонах,  будет  определяться  по  формуле:  \(F_A=\rho gl^3\),  где \(l\) –  длина  ребра куба в метрах, \(\rho=1000\) кг/м3 –  плотность  воды,  а \(g\) –  ускорение  свободного  падения  (считайте  \(g=9.8\) Н/кг).  Какой  может  быть  максимальная  длина  ребра  куба,  чтобы  обеспечить  его  эксплуатацию  в  условиях,  когда  выталкивающая  сила  при  погружении  будет  не  больше,  чем 78400 Н?  Ответ  выразите в метрах. 

Решение: 

Подставим в формулу все известные величины и найдем длину ребра аппарата: \(78400=1000*9.8*l^3 \Rightarrow l^3=784/98 \Rightarrow l^3=8 \Rightarrow l=2\) м.

Ответ 2.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Катер  и  плот  одновременно  отплыли  вниз  по  реке.  Пройдя  16  км,  катер  развернулся  и  пошел  вверх  по  реке.  Пройдя  12  км,  он  встретился  с  плотом.  Какова  собственная  скорость  катера,  если  скорость  течения  реки  4  км/ч? Ответ  выразите  в  км/ч. 

Решение: 

Если за \(t\) обозначить время, которое катер и плот были в пути, то плот за это время прошел \(4t\) км. Скорость плота равна скорости течения реки. При этом плот прошел всего \(16-12=4\) км, тогда он был в пути \(t=1\) час. 

Первые 16 км катер прошел со скоростью \((x+4)\) км/ч, а потом 12 км он прошел со скоростью \((x-4)\) км/ч, где \(x\) - собственная скорость катера. Тогда соствим уравнение:

 \({16 \over (x+4)}+{12 \over (x-4)}=1 \Rightarrow 16(x-4)+12(x+4)=x^2-16 \\ \Rightarrow x^2-28x=0 \Rightarrow x=0, x=28.\)

Скорость катера равна 28 км/ч, так как он не может иметь нулевую собственную скорость.

Ответ 28. 

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(f(x)=3x^4+4x^3-12x^2-12\) на отрезке \([-0.5; 2].\)

Решение: 

Находим производную функции \(f^\prime=12x^3+12x^2-24x.\) Приравниваем ее нулю и находим критические точки: \(x=0, x=1, x=-2.\) Только первые две точки попадют в исследуемый отрезок.

Находим значения функции в критических точках и концах отрезка. Выбираем наименьшее из получившихся значений. 

\(f(-0.5)=-15.3125,\\ f(1)=-17, \\f(0)=-12, \\f(2)=20.\)

Ответ -17.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(2sin^2x+cos4x=0.\)

а) решите уравнение

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; -2\pi].\)

Решение: 

а) \(cos4x\) по формуле косинуса двойного угла преобразуем в \(2cos^22x-1, \) а \(2sin^2x=1-cos2x\) по той же формуле косинуса двойного угла, тогда имеем \(1-cos2x+2cos^22x-1=0 \Rightarrow cos2x=0, cos2x=0.5 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2x=0.5\pi+\pi n, 2x=\pm {\pi \over 3}+2\pi n \Rightarrow \\ \Rightarrow x={\pi \over 4}+{\pi n \over 2}, x=\pm {\pi \over 6}+\pi n , n-целое.\)

б) отбираем корни для интересующего отрезка с помощью единичной окружности, подставляя значения \(n\) в полученное решение. Получаем следующие числа: \(-{13\pi \over 6}, -{17\pi \over 6}, -{9\pi \over 4}, -{11\pi \over 4}.\)

Ответ а) \(x={\pi \over 4}+{\pi n \over 2}, x=\pm {\pi \over 6}+\pi n , n-целое.\) б) \(-{13\pi \over 6}, -{17\pi \over 6}, -{9\pi \over 4}, -{11\pi \over 4}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD все ребра равны между собой.  На ребре РС отмечена точка К.

А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью АВК является трапецией.

Б) Найдите угол, который образует плоскость АВК с плоскостью основания пирамиды,  если известно, что РК:КС=3:1.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Четырехугольник  АВDС  вписан  в  окружность.  Прямые  АВ  и  CD  пересекаются  в  точке Р.

А)  Докажите, что АD∙ВР=ВС∙DP.

Б)  Найдите  площадь  треугольника  АРС,  если  известно,  что  BD=2∙АС,  а  площадь  четырехугольника АВDС  равна 36. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - Alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В одном  сосуде  находится  21  л  75%‐ного  (по  объему)  раствора  кислоты,  а  в  другом  9  л  30%‐ного  раствора  той  же  кислоты.  Из  каждого  сосуда  отлили  равное  количество  жидкости,  и  взятое  из  первого  сосуда  вылили  во  второй,  а  взятое  из  второго  вылили  в  первый.  Сколько  литров  было  взято  из  каждого  сосуда,  если  в  результате в них оказался раствор одной и той же концентрации? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?