Решения задач из варианта № 129 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Витя  в  булочной  должен  купить  батон  за  26  руб.,  ржаной  хлеб  за  19  руб.  и  три  плюшки  по  цене  14  руб.  за  штуку.  Сколько  рублей  сдачи  получит  Витя,  если  рассчитается за покупку 100‐рублевой купюрой? 

Решение: 

Витя получит сдачи \(100-14*3-19-26=13\) рублей.

Ответ 13.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На графике приведена зависимость высоты h (в метрах), брошенного вверх тела, от  времени  t  (в  секундах).  Определите,  сколько  секунд  тело  находилось  на  высоте  не  менее 6 метров.

Решение: 

Исходя из графика, тело находилось на высоте не менее 6 метров, 12 секунд. 

Ответ 12.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке клетка имеет размер 1см х 1см.   Найдите  длину  отрезка  РК.  Ответ  дайте  в  сантиметрах.

Решение: 

Треугольники АВС и РКС подобны. Тогда можно найти РК. \(PK={CK \over CB}*AB.\) Боковые стороны можно найти с помощью теоремы Пифагора: \(CB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2, CK=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.\) Тогда \(PK={CK \over CB}*AB={3\sqrt2 \over {5\sqrt 2}}*7=4.2.\)

Ответ 4.2.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  артиллерийской  стрельбе  автоматическая  система  делает  выстрел  по  цели.  Если  цель  не  уничтожена,  то  система  делает  повторный  выстрел.  Выстрелы  повторяются  до  тех  пор,  пока  цель  не  будет  уничтожена.  Вероятность  уничтожения  некоторой цели при первом  выстреле равна 0,4, а при каждом последующем  – 0,6.  Сколько выстрелов потребуется для  того, чтобы вероятность уничтожения цели была  не менее 0,95? 

Решение: 

Рассчитаем вероятность того, что система не попадет по цели. При первом выстреле она равна 0.6. При двух выстрелах она равна \(0.6*0.4=0.24,\) при трех она равна \(0.6*0.4*0.4=0.096, \) при четырех \(0.6*0.4*0.4*0.4=0.0384.\) Таким образом, вероятность того, цель будет подбита после 4 выстрелов, равна \(1-0.0384=0.9616>0.95.\)

Ответ 4.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(\sqrt x=-2x.\)

Решение: 

\(\sqrt x=-2x \Rightarrow x=4x^2 \Rightarrow x=0, x=0.25.\)

В соответствии с условием, что правая часть должна быть неотрицательной, корнем может быть только \(x = 0.\) 

Можно было бы и не решать уравнение. Корень находится сразу же из ОДЗ.

Ответ 0.

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  равнобедренную  трапецию  АВСD  вписана  окружность.  Найдите  длину  боковой  стороны  АВ,  если  ВС=3,5, АD=6. 

Решение: 

Так как окружность вписана в трапецию, то \(AB+CD=BC+AD \Rightarrow AB={AD+BC \over 2}=4.75.\)

Ответ 4.75.

Рисунок: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Функция у = f (x) определена на промежутке  [‐4;  4].  На  рисунке  приведен  график  её  производной.  Найдите  количество  точек  графика  функции    у = f (x),  касательная  в  которых  образует  с  положительным  направлением оси Ох угол 50°. 

Решение: 

Из геометрического смысла производной - она равна тангенсу угла наклона касательной.

Тангенс возрастает на промежутке \([-{\pi \over 2}; {\pi \over 2}]\), тогда \(tg50^o>tg45^o=1.\) На графике производной точек, в которых она больше 1 и меньше 2, четыре (4) штуки.

Ответ 4.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Площадь  боковой  поверхности конуса  равна  24.  Через  середину  его  высоты  параллельно  основанию  провели  плоскость. Найдите площадь боковой поверхности усеченного  конуса. 

Решение: 

Площадь боковой поверхности конуса \(S_1=\pi r_1 l_1, \) площадь боковой поверхности усеченного конуса равна \(S_2=\pi (r_1+r_2)l_2.\)

Из подобия треугольников, являющихся сечениями конуса, имеем: \({h_2 \over h_1}={1 \over 2}={r_2 \over r_1}={l_2 \over l_1}, \) тогда \(S_2=\pi r_1l_2+\pi r_2l_2=0.5\pi r_1l_1+0.25\pi r_1l_1=0.75S_1=18.\)

Ответ 18.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({log_5 27\over log_5 4-log_5 36}.\)

 

Решение: 

\({log_5 27\over log_5 4-log_5 36}=-{log_5 3^3\over log_5 36-log_5 4}=-{3log_5 3\over log_5 (36/4)}=\\=-{3log_5 3\over log_5 3^2}=-1.5.\)

Ответ -1.5.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  адиабатическом  процессе  для  идеального  газа  выполняется  закон  \(pV^k=const\),  где p  –  давление  газа  в  паскалях, V  –  объём  газа  в  кубических метрах.  В  ходе  эксперимента  с  одноатомным  идеальным  газом  (для  него  k= 35 )  из  начального  состояния,  в  котором  const  =  105  Па∙м5,  газ  начинают  сжимать.  Какой  наибольший  объём V может  занимать  газ  при  давлениях p не  ниже  3,2∙106  Па? Ответ  выразите  в  кубических метрах. 

Решение: 

Подставим все известные величины в формулу и найдем неизвестный объем:\(3.2*10^6*V^{5/3}=10^5 \Rightarrow V^{5/3}={1 \over 3.2}*10^{-1} \Rightarrow \sqrt [3] V=0.5 \Rightarrow V=0.125.\)

Ответ 0.125.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из  пункта  F  круговой  трассы  выехал  велосипедист,  а  через  30  минут  следом  за   ним  отправился  мотоциклист.  Через  15  минут  после  отправления  он  догнал   велосипедиста в первый  раз, а еще  через 30 минут после этого догнал его во второй  раз.  Найдите  скорость  мотоциклиста,  если  длина  трассы  равна  30  км.  Ответ  дайте  в  км/ч. 

Решение: 

Пусть скорость велосипедиста равна \(x\)км/ч, а скорость мотоциклиста равна \(y\) км/ч. Тогда мотоциклист проехал то же расстояние за 15 минут, которое проехал велосипедист за 45 минут: \({15 \over 60}y={45 \over 60}x \Rightarrow y=3x.\)

За следующие 30 минут мотоциклист проехал \({30 \over 60}y,\) а велосипедист проехал за это же время \({30 \over 60}x.\) При этом его обогнал мотоциклист на 1 круг, следовательно, составим уравнение \({30 \over 60}y={30 \over 60}x+30.\) Решим его и найдем искомую скорость мотоциклиста. Она равна 90 км/ч.

Ответ 90. 

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку минимума функции \(f(x)=(x^2-7x+10)e^{0.5x}.\)

Решение: 

Алгоритм решения задачи простой: находим производную функции, приравниваем ее нулю и определяем критические точки. Исследуем на экстремум и находим точку минимума.

\(f^ \prime (x)=(2x-7)e^{0.5x}+0.5e^{0.5x}(x^2-7x+10)=e^{0.5x}(0.5x^2-1.5x-2). \\ f^\prime=0 \Rightarrow x=-1, x=4.\)

Имеем, что \(x = 4\) - точка минимума, так как при переходе через эту точку производная функции меняет знак с "-" (функция убывает) на "+" (функция возрастает).

Ответ 4.

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(\sqrt{tgx}(2sin^2x-sinx-1)=0.\)

а) решите уравнение;

б) укажите его корни из промежутка \([{\pi \over 2}; 2\pi].\)

Решение: 

ОДЗ: \(tgx>=0, cosx \neq0.\)

а) решим уравнение: \(\sqrt{tgx}(2sin^2x-sinx-1)=0 \Rightarrow tgx=0, 2sin^2x-sinx-2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x=\pi n, sinx=1, sinx=-0.5.\)

Корень \(sinx=1 - \)не входит в ОДЗ, так как при этом \(cosx=0.\) Тогда остаются корни \(x=\pi n, n-\) целое и \(x=(-1)^n(- {\pi \over 6})+\pi n, n - \) целое. 

Из второй группы корней выбираем только те, которые лежат в третьей четверти, потому что в ней тангенс положителен. Тогда окончательно имеем решение \(x=\pi n, n-\) целое и \(x=-{5\pi \over 6}+2\pi n, n - \) целое.

б) выбираем корни, попадающие в промежуток \([{\pi \over 2}; 2\pi].\) Это числа \(\pi, {7\pi \over 6}, 2\pi.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.   А) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках А, В1, В, С1 составляет третью  часть объема призмы.  Б) Найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1, если известно, что АВ=2, АА1=4.

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В равнобедренную  трапецию АВСD с основаниями ВС и АD вписана окружность.  Вторая окружность, построенная на боковой стороне АВ как на диаметре, второй раз  пересекает большее основания АD в точке Н.

А) Докажите, что треугольник СHD равнобедренный. 

Б)  Найдите  основания  трапеции,  если  радиусы  первой  и  второй  окружностей  равны  соответственно 6 и 6,5.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На первом складе находятся коробки с простыми карандашами, а на втором – с  цветными. Количество коробок простых карандашей составляет \({14\over 17}\) от числа коробок  цветных карандашей. Когда со складов продали \({3\over 8}\) коробок простых карандашей и \({5\over 9}\) цветных, то на первом складе осталось менее 3000 коробок, а на втором – не менее  2000 коробок. Сколько коробок было первоначально на каждом складе? 

Решение: 

Решение во вложении. 

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

А) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение a+b=99?

Б) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет система уравнений a+b=99, c+d=99 ?

В) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение  a+b=99?

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 22

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На заводе 20 % всех станков были переведены на повышенную скорость, благодаря чему производительность станка повысилась на 80 %. На сколько процентов повысился выпуск продукции? 

Решение: 

Пусть всего было \(x\) станков на заводе.

В соответствии с условием задачи запишем, что 20 % всех станков были переведены на повышенную скорость, благодаря чему производительность станка повысилась на 80 % \(0.2x*1.8+0.8x*1=1.16x.\)

Тогда производительность увеличилась на 16%.

Ответ 16.

Другие задачи темы: