Решения задач из варианта № 130 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Настенные  часы  с  минутной  и  часовой  стрелкой  нельзя  заводить, если хотя бы одна из стрелок находится между 3 и 4 или  между  8  и  9.  Сколько  в  сутках  времени,  когда  эти  часы  заводить  можно? Ответ дайте в минутах. 

Решение: 

В сутках 24 часа. Из них в течение 4 часов не получится заводить часы, так как часовая стрелка будет между 3 и 4 часами либо между 8 и 9 часами. В остальные 20 часов часы можно будет заводить только в течение 50 минут, так как в течение 10 минут каждого часа минутная стрелка будет либо между 3 и 4, либо между 8 и 9.

Тогда часы можно заводить только в течение \(20*50=1000\) минут в сутки.

Ответ 1000.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  приведен  график движения двух  туристических  групп. Определите,  на  сколько средняя скорость движения туристов на всем протяжении пути одной группы  отличается от средней скорости движения  туристов на всем протяжении пути другой  группы. Ответ дайте в км/ч. 

 

Решение: 

Средние скорости туристических групп одинаковы и равны \({20\over 7}\) км/ч. Средняя скорость - все пройденное расстояние, деленное на все затраченное время. Получаем, что исходя из графиков движения, каждая группа прошла 20 км за 7 часов.

Ответ 0.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Для  приготовления  пирожков  бабушка  из  круглого  листа  теста  радиусом  20  см  вырезала  десять  кружков  радиусом  5  см.  Сколько  процентов  теста  составили  остатки, полученные после вырезания кружков?

Решение: 

Для решения задачи вспомним формулу площади круга: \(S=\pi r^2.\) Тогда сразу запишем решение \({{\pi *20^2-10*\pi *5^2}\over \pi *20^2}*100=37.5.\)

Ответ 37.5.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Сколькими  способами  12  пятаков  можно  разложить  по  5  различным кошелькам  так, чтобы ни один кошелек не оказался  пустым? 

Решение: 

Если 12 монет разложить в ряд, то на 5 групп их можно поделить 4 "перегородками". Эти 4 перегородки можно разместить только по 11 местам (между 12 монетами таких мест может быть только 11), так как ни один кошелек не должен быть пуст. Тогда искомая вероятность равна \(P=C^4_{11}={11!\over 4!7!}=330.\)

Ответ 330.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(sin {\pi x\over 2}=x^2+6x+10.\)

Решение: 

Выделим в правой части полный квадрат: \(x^2+6x+10=x^2+2*3*x+9-9+10=(x+3)^2+1.\) Таким образом, имеем \((x+3)^2+1>=1\) при любых \(x.\) При этом из определения синуса имеем: \(|sinx|<=1.\) Решение уравнения будет только тогда, когда \((x+3)^2+1=1.\) То есть, \(x=-3.\)

При решении уравнения \(sin{\pi x \over 2}=1\) имеем \({\pi x \over 2}={\pi \over 2}+2\pi n \Rightarrow x=1+4n, n-\) целое. Тогда, перебирая, целые \(n\), находим \(x=-3 при n=-1.\)

Ответ -3.

Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  изображен  график  производной  функции   \(f(x)=x^2-4|x|+3.\) Найдите наибольшее значение этой функции  на отрезке \([‐1; 3,5].\)

Решение: 

Наибольшие и наименьшие значения функции на отрезках ищутся в критических точках. У данной функции на заданном отрезке две критические точки: \(x = 0, x=2.\) Первая точка - точка максимума, так как производная в ней не существует и меняет свой знак с "+" на "-", вторая - точка минимума. При этом видно, что функция возрастатет с начала исследуемого отрезка.

Проверим значения функции в начале и конце отрезка \(f(-1)=1-4+3=0, f(3.5)=12.25-14+3=1.25.\)

Тогда наибольшее значение функции будет при \(x = 0\)  и оно равно \(f(0)=3.\)

Ответ 3.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  треугольнике АВС  медианы АК  и  СР  пересекаются  под  прямым  углом  в  точке  Q.  Найдите  длину  медианы,  проведенной из вершины В треугольника АВС, если известно,  что АК=12, СР=9. 

Решение: 

Сначала находим АС, потом проводим третью медиану и понимаем, что она является и медианой треугольника AQC, который является прямоугольным. А в таких треугольниках медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Есть второй способ - в лоб. Находим длины всех сторон и далее по формуле считаем длину медианы. Но этот способ более длинный и не такой красивый, как первый. Воспользуемся первым способом.

AC можно найти довольно легко из прямоугольного треугольника AQC по теореме Пифагора. При этом длины его катетов легко находятся, зная, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины. Тогда \(AC=\sqrt{6^2+8^2}=10.\) Тогда третья часть искомой медианы равна 5, а вся медиана, проведенная из вершины B, равна 15.

Ответ 15.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  конус  вписан  цилиндр  так,  что  плоскость  его  верхнего  основания делит высоту конуса пополам. Найдите объем цилиндра,  если объем конуса равен 12. 

Решение: 

Пусть высота цилиндра будет h, а высота конуса H. Радиус конуса - R, а радиус цилиндра  - r. Объем конуса равен \(V_k={1\over 3}\pi R^2H=12,\) объем цилиндра равен \(V_c=\pi r^2h={1\over 2}\pi r^2H.\) Треугольники, являющиеся сечениями большого и малого конусов на рисунке, подобны. Тогда из свойства подобия находим: \({r\over R}={h\over H}={1\over 2} \Rightarrow r=0.5R.\) Тогда получим \(V_c={1\over 8}\pi R^2H={3\over 8}*{1\over 3}\pi R^2H={3\over 8}*12=4.5.\)

Ответ 4.5.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все корни уравнения \(sin(2^x)=1\), удовлетворяющие неравенству \(|2^x-1|+|2^x -8| \leq 7.\)

Решение: 

Сделаем замену: \(y=2^x\), тогда \(y\geq1.\) Уравнение примет вид: \(sin y=1 \Rightarrow y= \pi/2+2\pi k, k\in Z\), а неравенство примет вид: \(|y-1|+|y-8|\leq7.\) Первый модуль всегда раскрывается положительно,  при \(y\leq 8\) второй модуль раскрывается отрицательно, но тогда неравенство верно, а значит рассмотрим случай при \(y> 8\), неравенство примет вид: \(y-1+y-8\leq7\Rightarrow y\leq8.\) Получаем, что \(1\leq y\leq 8 \iff 1\leq \pi/2+2\pi k\leq 8\).  Двойное неравенство верно при k=0 и k=1, учитывая замену,получаем , что \(x = log_2 \pi/2\) и \(x = log_2 5\pi/2\).

Ответ:\(x = log_2 \pi/2\), \(x = log_2 5\pi/2\)

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(81^{log_3 \sqrt{2}}-log_6 9-log_{1/\sqrt{6}}0.5+log_2 6-log_2 3.\)

Решение: 

\(81^{log_3 \sqrt{2}}-log_6 9-log_{1/\sqrt{6}}0.5+log_2 6-log_2 3=\\=4^{4*0.5*log_3 2}-2log_6 3-(-1)*(-2)log_6 2+log_2 (6/3)=\\=3^{log_3 4}-2log_6 3-2log_6 2+log_2 2=4-2log_6 6+1=3.\)

Ответ 3.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Зависимость  температуры  (в  градусах  Кельвина)  от  времени  (в  минутах)  для  нагревателя  некоторого  прибора  задается  выражением  \(T(t)=T_0+at+bt^2\),  где  \(T_0=1200 K, a=48\) К/мин, \(b=-0.4\) К/мин2. Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. 

Решение: 

Подставим известные величины в определяющее соотношение и найдем искомое время:

 \(2000=1200+48t-0.4t^2 \Rightarrow 0.4t^2-48t+800=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow t^2-120t+2000=0 \Rightarrow t=20, t=100.\)

Время \(t=100\) не берем, так как зависимость температуры от времени - парабола, ветви которой направлены вниз, максимум будет достигаться после набора прибором температуры \(2000\). После этого температура начнет падать и снова достигнет 2000 градусов. Поэтому имеем два решения, но нас удовлетворяет только одно.

Ответ 20.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Пловец потерял под мостом флягу, но заметил это  только  через  3  мин.  Повернув  назад,  он  догнал флягу  в  100  м  от  моста.  Найдите  скорость  течения  реки.  Ответ  дайте в км/ч. 

Решение: 

Обозначим за \(x \) км/ч скорость пловца в стоячей воде, а за \(y\) км/ч скорость течения реки. Тогда время, которое фляга плыла по течению, равно \({100\over 1000y}={0.1 \over y}\) часов. В это же время пловец отплыл от моста против течения реки, а потом вернулся за флягой и догнал ее на расстоянии 100 м от моста. Тогда он затратил следующее время на это: во-первых, 3 минуты на то, что отплыл от моста против течения, затем он на это же расстояние затратил  \({3(x-y)\over 60(x+y)}\) часов, так как плыл уже по течению, а на 100 км от моста по течению он затратил еще \({0.1\over x+y}\) часов. Тогда составим уравнение и решим его

 \({0.1 \over y}={0.1 \over x+y}+{3 \over 60}+{3(x-y)\over 60(x+y)} \Rightarrow {20*0.1+x+y+x-y \over 20(x+y)}={0.1 \over y}\Rightarrow \\ \Rightarrow {x+1 \over 10(x+y)}={0.1 \over y}\Rightarrow xy+y=x+y \Rightarrow y=1.\)

Ответ 1.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение выражения \(\sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-9)^2+(y+10)^2}.\)

Решение: 

Данное выражение представляет собой сумму длин радиусов окружностей с центрами в точках \((1; 5), (9; -10),\) то есть \(\sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-9)^2+(y+10)^2}=r_1+r_2.\)

Наименьшее значение будет при ситуации, когда окружности касаются друг друга, так как кратчайшее расстояние между двумя точками - это прямая. Данная задача проиллюстрирована на рисунке.

Наименьшее расстояние обозначено красной линией и равно \(\sqrt{8^2+15^2}=17.\)

Ответ 17. 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямые.  

А)  Докажите,  что  точка  S,  точка  пересечения  медиан  треугольника  АВС  и  точка,  равноудаленная  от  вершин  пирамиды  (центр  описанной  сферы),  лежат  на  одной  прямой. 

Б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA=2, SB=3,  SC=4.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(x^2+x\sqrt{3-3x^2}>=0.5+x.\)

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В равнобокой описанной трапеции АВСD, где угол В тупой, а ВС и  AD – основания,  проведены: 1) биссектриса угла В; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная АВ и проходящая через середину отрезка CD.  

А) Докажите, что все они пересекаются в одной точке. 

Б)  Найдите  расстояние  между  центрами  вписанной  и  описанной  окружностей  трапеции  АВСD, если известно, что ВС=8, AD=18. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Два  человека,  у  которых  имеется  один  велосипед,  должны  попасть  из  пункта  А  в  пункт В, расстояние между которыми 40 км.  Первый  движется  пешком  со  скоростью    4  км/ч,  а  на  велосипеде  –  со  скоростью    30  км/ч. Второй движется пешком со скоростью  6  км/ч,  а  на  велосипеде  –  со  скоростью  20  км/ч. За какое наименьшее время они могут  добраться из А в В?   (Велосипед можно оставлять на дороге без присмотра) 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Парабола \(p_2\) симметрична  параболе \(p_1\),  заданной  уравнением \(y=ax^2 (a>0)\),  относительно  точки  \(T(b; ab^2), b>0\).  Некоторая  прямая  пересекает каждую параболу ровно в одной точке:  \(p_1\) – в точке \(A_1\),  \(p_2\)  – в точке \(A_2\) так, что угол \(A_1A_2T\) прямой. Касательная к параболе \(p_1\), проведенная в точке  Т, пересекает прямую \(A_1A_2\) в точке К. Найдите отношение, в котором точка  К делит  отрезок \(A_1A_2\).

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите уравнение: 

А) [2x] = {7x};       

Б)  [2x] =  7x;         

В)   2x  = {7x}.       

[a] – целая часть числа  а, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее а;  {a} – дробная часть числа  а, т.е. {a} = а – [a].

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?