Решения задач из варианта № 131 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  городе  N   живет  131000  жителей.  Среди  них  14%   детей  и  подростков.  Среди  взрослых  45%  работает. Сколько взрослых жителей не работает? 

Решение: 

Число взрослого населения в городе N равно \(131000 -131000 *0.14=112660.\) Тогда не работает среди них \(112660*0.55=61963\) жителя.

Ответ 61963.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  жирными  точками  показан  курс  пары  доллара  плюс  евро  к  рублю,  установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 29 сентября 2015  года по 23  октября 2015 года (с округлением до целого числа). По горизонтали указываются числа  месяцев, по вертикали – цена доллара плюс евро в рублях. Для наглядности жирные  точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней курс пары  доллара плюс евро к рублю был ровно 131 рубль. 

Решение: 

Исходя из графика таких дней было 4.

Ответ 4.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 131.  Найдите площадь заштрихованной фигуры

Решение: 

Радиусы большого и малого кругов относятся как 6 к 3 (радиусы показаны красной и зеленой линиями), тогда их площади относятся как 36 к 9.

Найдем площадь заштрихованной фигуры как разность площадей большого и малого кругов \(S={36\over 9}*131-131=3*131=393.\)

Ответ 393.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Монету  бросают  131  раз.  Какова  вероятность  того,  что  результаты  семи  первых  бросков будут одинаковы? Результат округлить до тысячных? 

Решение: 

При бросании монеты вероятность орла или решки равна 0.5. Результаты первых семи бросков не зависят от последующих. Нас устраивает вариант, когда 7 раз выпадает решка и когда 7 раз подряд выпадает орел. Найдем искомую вероятность \(P=2*({1\over 2*2*2*2*2*2*2})=0.016.\)

Ответ 0.016.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите уравнение \(3^{-131-5x}=0.375*8^{-131-5x}.\)

Решение: 

\(3^{-131-5x}=0.375*8^{-131-5x} \Rightarrow 3^{-131-5x}={3\over 8}*8^{-131-5x} \Rightarrow \\ \Rightarrow (3/8)^{-131-5x}=(3/8)^1 \Rightarrow -131-5x=1 \Rightarrow x=-26.4.\)

Ответ -26.4.

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В треугольнике  ABC  угол  A  равен  131o.  BD  и  CE  – высоты, пересекающиеся в точке  O . Найдите угол  BOC . Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

Углы M и N прямые. 

\(< BOC=90^o-< NCO, < CAM=180^o-131^o=49^o.\\ < NCO=90^o-49^o=41^o, < BOC=90^o-41^o=49^o.\)

Ответ 49.

Рисунок: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Материальная  точка  движется  прямолинейно  по  закону \(x(t)=4t^4-2t^3-42.5t^2+131t-131\),  где \(x\) – расстояние от  точки отсчета в метрах,  \(t\) – время  в  секундах,  измеренное  с  начала  движения.  В  какой  момент  времени  (в секундах) её ускорение было равно 131 м/с2

Решение: 

Ускорение - вторая производная по времени от перемещения (расстояния). Найдем вторую производную (дважды продифференцируем) и приравняем ее 131 м/с2. Затем найдем время, при котором это возможно.

\(x^\prime(t)=16t^3-6t^2-85t+131, \\ x^{\prime \prime}=48t^2-12t-85.\)

Получаем уравнение \(48t^2-12t-85=131.\) Решаем его, находим, что \(t=2.25.\)

Ответ 2.25.

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  поверхности  правильной  шестиугольной  призмы,  сторона  основания которой равна \({5 \over \sqrt [4] 3}\), а высота –  \({131 \sqrt [4] 3}\).

Решение: 

Площадь поверхности такой призмы - шесть площадей боковых прямоугольников и 2 площади шестиугольников в основании.

Нйдем их.

\(S_{rect}={5 \over \sqrt [4] 3}*{131 \sqrt [4] 3}=655.\)

Площадь треугольника, из которых состоит шестиугольник в основании, равна  \(S_{treug}=0.5*{5 \over \sqrt [4] 3}*{5 \over \sqrt [4] 3}*sin60^o=25/4.\)

Тогда площадь поверхности призмы \(S_{prizm}=6*655+2*6*{25 \over 4}=4005.\)

Ответ 4005.

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(\sqrt{75}-\sqrt{300}sin^2{131 \pi \over 12}\).

Решение: 

По формуле понижения степени имеем \(sin^2{131 \pi \over 12}={1-cos{131 \pi \over 6}\over 2}={1-{\sqrt 3 \over 2}\over 2}.\) 

Тогда \(\sqrt{75}-\sqrt{300}sin^2{131 \pi \over 12}=\sqrt {75} (1-1+{\sqrt 3 \over 2})=7.5.\)

Ответ  7.5.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Груз массой  0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость  \(v\) меняется по закону  \(v=v_ocos {2\pi t\over T}\), где \(t\)  – время с момента начала колебаний,  \(T=6\) – период колебаний,  \(v_0=20\) м/с.  Кинетическая  энергия  \(E\) (в  джоулях)  груза  вычисляется  по  формуле  \(E={mv^2\over 2}\),  где  \(m\) –  масса  груза  в  килограммах, \(v\)   –  скорость  груза  в  м/с.  Найдите  кинетическую энергию груза через 131 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в  джоулях. 

Решение: 

Сначала найдем скорость груза при \(t=131,\) а затем уже кинетическую энергию.

\(v(131)=20cos{2 \pi 131 \over 6}=-20cos{2 \pi \over 3}=10.\) \(E=0.16*100/2=8.\)

Ответ 8.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Расстояние  между  городами  A   и  B   равно  131  км.  Из  города  A   в  город  B выехал автомобиль, а через 19 минут 10 секунд следом за ним со скоростью  \({308 \over 3}\)  км/ч  выехал  мотоциклист,  догнал  автомобиль  в  городе  C  и  повернул  обратно.  Когда  он  вернулся в  A , автомобиль прибыл в  B . Найдите расстояние от  A  до  C . Ответ дайте  в километрах. 

Решение: 

Обозначим черех \(x\) км/ч скорость автомобиля, а искомое расстояние от А до С через \(y\) км.

Автомобиль преодолел искомое расстояние за \({y \over x}\) часов, а мотоциткл за \({y \over 308/3}\) часов. Так как мотоцикл выехал на 19 минут 10 секунд позже автомобиля, составим первое уравнение \({y \over x}={y \over 308/3}+{115 \over 360}.\)

Второе уравнение составим из условия, что оставшийся участок ВС автомобиль проехал за время, которое потребовалось мотоциклу для возвращения в пункт А из пункта С: \({131-y \over x}={y \over 308/3}.\) Решая эти уравнения и исключая \(x,\) получаем окончательное уравнение для нахождения искомого расстояния АС: \(108y^2-5303y-232001=0.\) Решая его, находим \(y=AC=77 \) км.

Ответ 77.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(y=x^2\sqrt x-67.5x+131.\)

Решение: 

Сначала найдем производную \(y^\prime=2x\sqrt x+{1 \over 2\sqrt x}x^2-67.5.\) Приравняем нулю и найдем критические точки, которые затем проверим на экстремум (производная должна менять свой знак при переходе через эти точки).

\(2x\sqrt x+{1 \over 2\sqrt x}x^2-67.5=0 \Rightarrow 2.5x\sqrt x-67.5=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2.5(x^{3/2}-27)=0 \Rightarrow x=9.\)

Получили одну критическую точку, которая является еще и точкой минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с - на +. То есть, функция убывает, достигает минимума и возрастает.

Тогда наименьшее значение функции \(y(9)=-233.5.\)

Ответ -233.5.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \({sin2x-2sin^2({131 \pi \over 2}+x)\over \sqrt [4] {-sinx}}=0.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-{17 \pi \over 2}; -{3 \pi \over 2}].\)

Решение: 

а) ОДЗ \(sinx<0.\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.

\(sin2x-2sin^2({131 \pi \over 2}+x)=0 \Rightarrow sin2x-(1-cos(131\pi +2x))=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow sin2x-1-cos2x=0 \Rightarrow sin2x-1-2cos^2x+1=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow sinxcosx-cos^2x=0 \Rightarrow cox=0, tgx=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x={\pi \over 2}+2\pi n, x={\pi \over 4}+\pi k, n,k-целые.\)

С учетом ОДЗ имеем: \(x=-{\pi \over 2}+2\pi n, x=-{3\pi \over 4}+2\pi k, n,k-целые.\)

б) Выбираем корни и заданного промежутка: \(-{17\pi \over 2}, -{13\pi \over 2}, -{9\pi \over 2}, -{5\pi \over 2}, -{27\pi \over 4}, -{19\pi \over 4}, -{11\pi \over 4}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  основании  правильной  треугольной  призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит  треугольник  со стороной  18 .  Высота  призмы  равна \(\sqrt{131}\). Точка  N делит  ребро \(A_1C_1\)  в  отношении 1:2, считая от точки \(A_1\). 

а) Постройте сечение призмы плоскостью  BAN.

б) Найдите площадь этого сечения. 

Решение: 

Источник решения - alexlarin.com.

Решение во вложении.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Около  окружности  описана  равнобедренная  трапеция  ABCD. E и  K –  точки  касания этой окружности с боковыми сторонами  AD  и  BC . Угол между основанием  AB  и боковой стороной  AD  трапеции равен  60 градусов.

а) Докажите, что  EK  параллельно  AB.

б) Найдите площадь трапеции  ABKE , если радиус окружности равен \(\sqrt{131}\). 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  июле  планируется  взять  кредит  в  банке  на  некоторую  сумму.  Условия  его  возврата таковы:  – каждый январь долг возрастает на  31%  по сравнению с концом предыдущего года;  –  с  февраля  по  июнь  каждого  года  необходимо  выплатить  часть  долга,  равную  69690821 рубль.  Сколько  рублей  было  взято  в  банке,  если  известно,  что  он  был  полностью  погашен  тремя равными платежами (то есть за 3 года)? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения  a, при каждом из которых уравнение \(|x+21|+|x+34|+|x+55|+|x+89|=ax+131\) имеет ровно одно решение. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник  - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее натуральное число, у которого 

а) произведение всех его делителей равно 131. 

б) число (количество) его делителей равно 131. 

в) сумма трёх меньших и наибольшего его делителя равна 131.

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: