Решения задач из варианта № 132 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Флакон шампуня стоит 132  рубля. Какое наибольшее количество флаконов можно  купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет  24% ?

Решение: 

Найдем стоимость флакона со скидкой и получим число таких флаконов, которые можно купить на 1000 руб: \(1000/(0.76*132)=9.96...\) Тогда число флаконов равно 9.

Ответ 9.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке жирными  точками  показана  цена  никеля  (с  округлением  до  сотен)  на  момент  закрытия  биржевых  торгов  во  все  рабочие  дни  с  22  апреля  по  11  мая  2015  года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны никеля в  долларах  США.  Для  наглядности  жирные  точки  на  рисунке  соединены  линией.  Определите  по  рисунку,  сколько  рабочих  дней  цена  никеля  превышала  13200   в  долларах США за тонну на момент закрытия торгов в указанный период.

Решение: 

Таких дней было 11 штук. Это отмечено красной линией на графике.

Ответ 11.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  четырехугольника,  вершины  которого  имеют  координаты  (132; 557), (133; 559), (141; 555), (140; 553).

Решение: 

Нарисуем четырехугольник, достроим его его до прямоугольника и найдем площадь как разность площадей прямоугольника и 4-х прямоугольных треугольников. Предварительно для удобства вычислений вычтем 132 из иксовых координат точек, а из угрековых вычтем по 553. При этом длины сторон четырехугольника не изменятся.

\(S=6*9-0.5*1*2-0.5*4*8-0.5*1*2-0.5*4*8=20.\)

Ответ 20.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из множества натуральных чисел от  132  до  931  включительно наудачу выбирают  одно число. Какова вероятность  того, что оно делится на  17 ? Результат, если нужно,  округлите до тысячных.

Решение: 

Всего натуральных чисел от 132 до 931 будет \(931-132+1=800\) штук. Из них только 47 чисел делятся на 17. Это числа \(136, 153,179,187, ..., 901, 918.\)

Тогда по определению вероятности имеем \(P=47/800=0.05875=0.059.\)

Ответ 0.059.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решить уравнение \(cos({\pi{132-5x}\over 6})=-{\sqrt 3 \over 2}.\) В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: 

\(cos{\pi({132-5x})\over 6}=-{\sqrt 3 \over 2} \Rightarrow {\pi{(132-5x)}\over 6}=\pm {5\pi \over 6}+2\pi n, n -целое. \)

Тогда \(x={132\pm 5-12n\over 5}.\)

Наибольший отрицательный корень будет равен  -1.

Ответ -1.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Основания  равнобедренной  трапеции  равны  132   и  202 .  Тангенс  острого  угла  трапеции равен  \(12/35\). Найдите периметр трапеции.

Решение: 

\(EF=BC=132 \Rightarrow AE=FD=(202-132)/2=35.\)

Из треугольника \(ACE\) имеем \(tgA=BE/AE \Rightarrow BE=35*12/35=12.\) Тогда боковая сторона равна \(AB=\sqrt{12^2+35^2}=37. \) Окончательно периметр равен \(P=202+132+70=408.\)

Ответ 408.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Прямая  \(y=-7x+141\) является  касательной  к  графику  функции  \(y=x^3+5x^2-4x+132\). Найдите ординату точки касания.

Решение: 

Из геометрического смысла производной: приравниваем производную функции в точке касания угловому коэффициенту наклона касательной, находим абсциссу точки касания, а далее находим ординату точки касания. При этом выбираем ту абсциссу, которая дает нам ординату точки касания одну и ту же для уравнения кривой, и для уравнения касательной.

\(y^\prime=3x^2+10x-4 \Rightarrow 3x^2+10x-4=-7 \Rightarrow x=-3, x=-1/3.\)

Ордината точки касания \(y(-3)=162.\)

Ответ 162.

Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вершина  A куба  \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) со  стороной  132   является  центром  сферы,  проходящей через точку \(A_1\). Найдите площадь  S cферы, содержащейся внутри куба. В  ответе запишите величину  \(S/ \pi\).

Решение: 

Куб отсекает 1/8 часть сферы, тогда площадь ее поверхности, содержащаяся внутри куба, равна \({1 \over 8}S_{пов}.\)

Тогда искомая величина запишется в виде \({S_{пов}\over 8 \pi}={4 \pi R^2 \over 8 \pi}=66*132=8712.\)

Ответ 8712.

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите \(-132cos2 \alpha, tg \alpha={2\sqrt2 \over 5}.\)

Решение: 

\(-132cos2 \alpha=-132({2\over 1+tg^2\alpha}-1)=-132({2*25 \over 33}-1)=-8*25+132=-68.\)

Здесь использовали формулу косинуса двойного угла, а затем от косинуса перешли к тангенсу.

Ответ -68.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону  \(v(t)=132sin({\pi t \over 5})\), где  t  – время в секундах. Какую долю времени из первых трёх секунд скорость  движения  превышала  66  мм/с?  Ответ  выразите  десятичной  дробью,  если  нужно,  округлите до тысячных.

Решение: 

Необходимо решить неравенство \(132sin({\pi t \over 5})>={66}.\)

\(132sin({\pi t \over 5})>=0.5 \Rightarrow {\pi \over 6}<={\pi t \over 5}<={5 \pi \over 6}\Rightarrow {5 \over 6}<=t<={25 \over 6}.\) Здесь учли, что аргумент синуса находится в первой и во второй четверти.

Тогда из первых трех секунд скорость была выше 66 мм/с в течение \(3-{5 \over 6}={13 \over 6}\) секунд. Тогда доля этого времени от трех секунд равна \(13/6:3=13/18=0.722...\)

Ответ 0.722.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Первую четверть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую четверть –  со  скоростью  120  км/ч,  третью  четверть –  со  скоростью  110  км/ч,  а  последнюю –  со  скоростью  132  км/ч.  Найдите  среднюю  скорость  автомобиля  на  протяжении  всего  пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение: 

Средняя скорость - все пройденное расстояние поделить на все затраченное время. Расстояние обозначим за S. Тогда  средняя скорость равна (в числителе стоит все расстояние, а в знаменателе стоят времена, затраченные на прохождение участков - четвертей всего расстояния с разными скоростями из условия задачи)

\(v_{ср}={S \over {0.25S \over 60}+{0.25S \over 120}+{0.25S \over 110}+{0.25S \over 132}}={1 \over {1\over 5*12}+{1\over 10*12}+{1\over 10*11}+{1\over 11*12}}=\\={1\over {2+1 \over 10*12}+{12+10 \over 10*11*12}}={4*10*11*12 \over 22+11+12+10}=96.\)

Ответ 96.

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  наименьшее  значение  функции \(y=x^5-5x^3-20x+132\) на  отрезке \([1; 3].\)

Решение: 

Сначала находим производную, приравниваем ее нулю и определяем критические точки. Выбираем точки, принадлежащие исследуемому отрезку. Считаем значения функции в концах отрезка и в критических точках. Выбираем среди них наименьшее значение.

\(y^\prime=5x^4-15x^2-20=0 \Rightarrow x^4-3x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2.\)

\(y(1)=112, \\y(2)=84, \\y(3)=182.\)

Ответ 84.

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \({sin(2x-132\pi)-cosx-2\sqrt2sinx+\sqrt2\over \sqrt3-tg(132\pi +2x)}=0.\)

а) решите уравнение; 

б) укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку \((-{19\pi \over 2}; -4\pi]\).

Решение: 

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не теряет смысла. Тогда имеем 

\(\sqrt3-tg(132\pi +2x)\neq0 \Rightarrow tg2x\neq \sqrt3 \Rightarrow x\neq{\pi \over 6}+{\pi n \over 2}.\)

Далее имеем

\(sin(2x-132\pi)-cosx-2\sqrt2sinx+\sqrt2=0 \Rightarrow sin2x-cosx-2\sqrt2sinx+\sqrt2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow cosx(2sinx-1)-\sqrt 2(2sinx-1)=0 \Rightarrow sinx=0.5 \Rightarrow x=(-1)^n{\pi \over 6}+\pi n.\)

С учетом ОДЗ имеем: 

\( x={5\pi \over 6}+2\pi n, n-\) целое.

Корни отбираем с помощью единичной окружности.

Ответ  а) \( x={5\pi \over 6}+2\pi n, n-\)целое; б)  \(-{55\pi \over 6}, -{43\pi \over 6}, -{31\pi \over 6}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками  пересечения  медиан  противоположных  граней)  и  отрезки,  соединяющие  середины  противоположных рёбер, пересекаются в одной точке. 

б)  Дан  тетраэдр  ABCD   с  прямыми  плоскими  углами  при  вершине  D . Площади  граней  BCD ,  ACD   и  ABD   равны  соответственно  132 ,  150 ,  539 .  Найдите  объём  тетраэдра.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник решения - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дан  треугольник  ABC.  В  нём  проведены  биссектрисы  AM и  BN ,  каждая  из  которых равна  \({2772\sqrt 6 \over 71}\). 

а) Докажите, что треугольник  ABC  – равнобедренный. 

б) Найдите площадь треугольника  ABC, если его основание равно 132 . 

 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник решения - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Василий хочет взять кредит на сумму 1325535 рублей на 5 лет под 20% годовых.  Банк предложил ему два варианта: 

Вариант 1. Василий отдаёт одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи). 

Вариант  2. Василий  производит  платежи  так,  чтобы  долг  уменьшался  после  каждого  платежа на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи). 

На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник решения - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения  a, при каждом из которых уравнение \(tg(\sqrt{a^2-x^2})=0\) имеет ровно 132 различных решения. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник решения - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

а)  Известно,  что \(b=2013^{2013}+2\).  Будут  ли  числа  \(b^3+2\) и \(b^2+2\)  взаимно  простыми? 

б) Найдите четырёхзначное число, которое при делении на  131 даёт в остатке 112, а  при делении на 132 даёт в остатке 98. 

в) Найдите все числа вида  \(xy9z\), которые делились бы на 132. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник решения - alexlarin.com.

Файл с решением: