Решения задач из варианта № 133 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В школе в  9‐х классах учится  133 учащихся. Согласно статистике  40% выпускников  9‐х классов уходят  из школы. На ЕГЭ математику профильного уровня выбирают  60% 11‐классников.  Из  сдающих  математику  профильного  уровня  лишь  2%  сдают  на  80 баллов  и  более.  Сколько  учеников  нынешних  9‐х  классов  в  этой  школе  согласно статистике сдадут ЕГЭ по математике не менее чем на 80 баллов? Ответ округлите до целого числа. 

Решение: 

Решение задачи можно записать в одно действие \(133*(1-0.4)*0.6*0.02=0,9576.\) Если округлить до целого числп, то получим, что 1 ученик 9-го класса сдаст ЕГЭ на более чем 80 баллов.

Ответ 1.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  диаграмме  показано  количество  посетителей  сайта  (с  округлением  до  10000)  во    все    дни    с    10    по    29    октября    2015    года.    По    горизонтали    указываются    дни    месяца,    по    вертикали  –  количество  посетителей  сайта  за  данный  день.  Определите  по  диаграмме,    сколько  дней  количество  посетителей  сайта  было  не  менее  133000.

Решение: 

Исходя из диаграммы таких дней было 9 штук.

Ответ .

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Пусть \(a=AB, b=CD.\) Найдите длину вектора \(a-b,\) если \(A(133, -516), B(-568, -656), C(-146, 118), D(-982, 330).\)

Решение: 

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. 

\(a-b=AB-CD, AB=(x_B-x_A, y_B-y_A)=\\=(-568-133, -656+516)=(-701, -140), \\CD=(x_D-x_C, y_D-y_c)=(-982+146, 330-118)=(-836, 212).\)

Тогда \(a-b=(x_b-x_a, y_b-y_a)=(-701+836, -140-212)=(135, 352). \)

Длина \(|a-b|=\sqrt{135^2+352^2}=377.\)

Ответ 377.

 

Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 В торговом центре два разных автомата продают кофе. Вероятность того, к концу дня закончится кофе в первом автомате, равна 0,32, что закончится кофе во втором автомате – 0,24. Вероятность того, что закончится кофе в обоих автоматах, равна 0,133. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. 

Решение: 

Обозначим через событие A - кофе закончится в первом автомате, а через В - кофе закончится во втором автомате.

Эти события не являются независимыми по условию, так как вероятность их произведения не равна произведению вероятностей.

События совместные, тогда вероятность суммы двух событий А и В равна \(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)=0.32+0.24-0.133=0.427.\) 

Искомая вероятность равна \(1-0.427=0.573.\)

Ответ 0.573.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(log_{133}(x^2-5x)=2log_{133}(3x-21).\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение: 

\(log_{133}(x^2-5x)=2log_{133}(3x-21) \Rightarrow (x^2-5x)=(3x-21)^2 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2-5x=9x^2-6*21x+21^2 \Rightarrow 8x^2-121x+21^2=0.\)

Находим два корня квадратного уравнения \(x=9, x=6.125.\) Второй корень не подходит ввиду того, что при подстановке получаем отрицательное значение во втором логарифме, чего не допускается по определению логарифма. 

Ответ 9.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Гипотенуза  равнобедренного  прямоугольного  треугольника  равна \(133(\sqrt{2}+1)\).  Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. 

Решение: 

Радиус вписанной окружности равен \(r=0.5(a+b-c).\) По теореме Пифагора имеем \(a=c\sqrt2,\) тогда искомый радиус \(r=0.5(2c/\sqrt2-c)=0.5*133(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=66.5.\)

Ответ 66.5.

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  изображён  график \(y=f^\prime(x)\)производной  функции  \(f(x)\),  определённой  на  интервале  (-18; 6) .  Найдите  количество  точек  функции  на  интервале  \((-12; 2]\),  в  которых  касательная  к  графику  функции  параллельна  прямой \(y=133-2x.\)

Решение: 

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Из геометрического смысла производной имеем \(f^\prime(x)=-2.\) Таких точек на графике 8 штук. Они отмечены красным.

Ответ 8.

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами  5  и 12 .  Объём  цилиндра,  описанного  около  этой  пирамиды,  равен  \(13351\pi\).  Найдите  высоту  призмы. 

Решение: 

В данном случае центр описанной около основания окружности лежит на середине гипотенузы, длина которой равна 13 (по теореме Пифагора).

Тогда имеем \(V_{цил}=\pi r^2h \Rightarrow h={V_{цил} \over \pi r^2}=316.\)

Ответ 316.

Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({133-266sin^219 \over 4-8cos^219}.\)

 

Решение: 

Применим формулы понижения степени для функций в числителе и знаменателе. Имеем

\({133-266sin^219 \over 4-8cos^219}={133\over 4}*{1-(1-cos38)\over 1-(1+cos^238)}=-133/4=-33.25.\)

Ответ -33.25.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  изображена  схема  вантового  моста.  Вертикальные  пилоны  связаны  провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста,  называются  вантами.  Введём  систему  координат:  ось  Oy   направим  вертикально  вдоль одного из пилонов, а ось  Ox  направим вдоль полотна моста, как показано на  рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся  формулой  \(y=0.005x^2-0.74x+25,\) где  x  и  y  измеряются в метрах. Длина одной из  вант,  расположенной  в  левой  половине  моста,  равна  13,3 м.  Найдите,  на  каком  расстоянии от оси  Oy  находится эта ванта. Ответ дайте в метрах. 

Решение: 

Подставляем длину вант в формулу, получаем квадратное уравнение \(0.005x^2-0.74x+11.7=0.\)

Решаем его с помощью дискриминанта, находим два корня 18 и 130. Так как по условию надо найти расстояние до ванты в левой половине моста, то, очевидно, что ее координата будет наименьшей среди найденных.

Ответ 18.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Цена  холодильника  в  магазине  ежегодно  уменьшается  на  одно  и  то  же  число  процентов  от  предыдущей  цены.  Определите,  на  сколько  процентов  каждый  год  уменьшалась  цена  холодильника,  если,  выставленный  на  продажу  за 18250   рублей,  через три года был продан за 13304,25  рублей. 

Решение: 

Составим уравнение с помощью простых вычислений и найдем искомый процент, на который ежегодно снижалась цена холодильника.

После первого снижения цена составила \(18250-{x\over 100}*18250={100-x\over 100}*18250.\)

После второго снижений цена стала \({100-x\over 100}*18250-{100-x\over 100}*18250*{x\over 100}={(100-x)^2\over 100*100}*18250.\)

После третьего снижения цена стала \({(100-x)^3\over 100*100*100}*18250=13304.25\Rightarrow (100-x)^3=729*1000 \Rightarrow 100-x=90.\)

Решая полученное уравнение, находим, что \(x = 10\%.\)

Ответ 10.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  наименьшее  значение  функции \(y=x^7-12.75x^4-40x+133\) на  отрезке \([-1; 3].\). 

Решение: 

Находим производную, приравниваем нулю. Определяем критические точки. Ищем значения функции в этих точках и концах отрезка. Выбираем из них наименьшее.

\(y^\prime=7x^6-51x^3-40 \Rightarrow 7x^6-51x^3-40=0 \Rightarrow x=2, x=\sqrt [3] {-{10\over14}}.\) Здесь при решении обозначали \(z=x^3,\) получали квадратное уравнение и решали его относительно \(z.\)

\(y(-1)=159.25, \\ y(2)=-23, \\y(3)>-23, \\ y(-{\sqrt [3] {10 \over 14}})>-23.\)

Ответ -23.

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Все ребра правильной шестиугольной призмы \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) равны \(\sqrt{133}\). 

а) Построить сечение призмы плоскостью \(AFC_1\). 

б) Найдите площадь этого сечения. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(log_2(log_3(log_4(log_5^2(133-2x)+7)+25)-1)<=1.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Внутри  равностороннего  треугольника  ABC  в  произвольном  месте  поставлена  точка  M.

а) Докажите, что сумма расстояний от  точки  M  до сторон  треугольника  ABC  равна  высоте этого треугольника. 

б) Найдите расстояние от точки  M  до стороны  AB, если расстояние от точки  M  до  сторон  AC   и  BC   соответственно  равны  \(10\sqrt3\) и  \(3\sqrt3\),  а  площадь  треугольника  ABC  равна \(14364\sqrt3\).

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Василий  кладёт  в  банк  1000000  рублей  под  10%  годовых  на  4  года  (проценты  начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце  каждого  года)  на  счёт  фиксированную  сумму  133000  рублей.  Какая  сумма  будет  на  счёте у Василия через 4 года? 

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения  a, при каждом из которых наибольшее значение функции  больше  -2 .

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

а)  Известно,  что  35!=10333147966386144929*66651337523200000000.  Найдите  цифру, заменённую звездочкой. 

б) Делится ли число \(11^{n+2}+12^{2n+1}\) при любом натуральном  n? 

в)  Найдите  количество  натуральных  чисел,  меньших  133,  взаимно  простых  с  числом  133. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(sin(133\pi -21x)*sin(14x+{133\pi \over 2})=1.\)

а) решите уравнение

б) укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку \([-{\pi \over 2}; {3\pi \over 8}].\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: