Решения задач из варианта № 135 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  школе  французский  язык  изучают  391  человек,  что  составляет  17%   учащихся.  Сколько человек в школе не изучают французский язык? 

Решение: 

Сначала найдем общее количество учащихся и из него вычтем число учеников, изучающих язык.

\({100*39\over 17}-391=1909.\)

Ответ 1909.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Для сматывания кабеля на заводе используют  лебёдку, которая равноускоренно  наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется  со  временем  по  закону \(\phi=\omega t+\beta t^2/2\),  где  t   –  время  в  минутах,    \(\omega=15\) °/мин  –  начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta =3\)°/мин2 – угловое ускорение, с  которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже  того момента, когда угол намотки \(\phi\) достигнет  3000o . Определите время после начала  работы  лебёдки,  не  позже  которого  рабочий  должен  проверить  её  работу.  Ответ  выразите в минутах. 

Решение: 

Поставим в формулу известные значения. Получим квадратное уравнение, находим время. Выбираем только положительный корень из получившихся двух.

\(3000=15t+3t^2/2 \Rightarrow t^2+10t-2000=0 \Rightarrow t=40.\)

Ответ 40.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Первый  велосипедист  выехал  из  поселка  по шоссе  со  скоростью  17  км/ч.  Через  час после него со скоростью 13 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал  второй велосипедист, а еще через час после этого – третий. Найдите скорость третьего  велосипедиста, если сначала  он догнал второго, а через  3 часа  10 минут  после этого  догнал первого. Ответ дайте в км/ч. 

Решение: 

Первый проехал за два часа до старта третьего велосипедиста 34 км, второй за час до старта третьего проехал 13 км.

Пусть скорость третьего равна \(x\) км/ч. Тогда имеем, что он ехал быстрее, чем первый на \(x-17\) км/ч и быстрее, чем второй на \(x -13\) км/ч.

При этом он догонит первого за \({34\over x-17}\) часов, а второго за \({13\over x-13}\) часов. По условию эта разница равна 3 часа 10 минут. Тогда составим уравнение для нахождения скорости третьего велосипедиста и решим его.

\({34\over x-17}={13\over x-13}+{19\over 6} \Rightarrow 19x^2-696x+13*17*25=0 \Rightarrow D=254^2.\) Выбираем больший корень, так как скорость третьего должна быть больше скоростей 1-го и 2-го, иначе он их не догонит. Тогда \(x = 25.\)

Ответ 25.  

 

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку максимума функции \(y=(4x-7)cosx-4sinx+5,\) принадлежащую промежутку \((0; \pi).\)

Решение: 

Находим производную функции, приравниваем нулю, определяем критические точки. Среди них выбираем те, которые принадлежат промежутку \((0; \pi).\) Исследуем их на экстремум и находим точку максимума.

\(y^\prime=4cosx-(4x-7)sinx-4cosx \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=1.75, x=\pi n.\)

Только одна критическая точка лежит в заданном промежутке \(x =1.75,\) она и является точкой максимума, так как при переходе через нее производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный.

Ответ 1.75.

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \({sin2x\over sin(x-7\pi /2)}=-\sqrt3.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку \((-2; 12).\)

Решение: 

\({sin2x\over sin(x-7\pi /2)}=-\sqrt3 \Rightarrow {2sinxcosx\over cosx}=-\sqrt3 \Rightarrow sinx=-{\sqrt3 \over 2} \Rightarrow \\ \Rightarrow x=(-1)^{n+1}{\pi \over 3}+\pi n, n-целое.\)

Корни выбираем подстановкой в решение целых значений n. Искомые корни получаются при \(n=0, 1, 2 ,3, 4.\)

Ответ а) \(x=(-1)^{n+1}{\pi \over 3}+\pi n, n-целое.\)

б) корни \(-{\pi \over 3}, {4\pi \over 3}, {5\pi \over 3}, {10\pi \over 3}, {11\pi \over 3}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Все рёбра правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равны 4.  

а) Постройте сечение призмы, проходящее через середины рёбер  \(BC, CC_1, A_1C_1\). 

б) Найдите площадь этого сечения. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \({|log_2^2x-2log_2x-6|-|log_2^2x-6|\over \sqrt{6-log_2 x-log_2^2x}}>=0.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Точка  D  лежит на стороне  BC  треугольника  ABC . 

а) Докажите, что \(AD^2=AB^2*{CD\over BC}+AC^2*{BD\over BC}-CD*BD.\). 

б)  Найдите  площадь  треугольника  ABC ,  если  известно,  что  AB =14 ,  AC = 11 ,  BD = 3 ,  \(AD=\sqrt{145}.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Первая и вторая бригады, работая вместе, могут выполнить задание не более чем  за 42 дня. Вторая и третья бригады, работая вместе, могут выполнить то же задание за  85 дней. Первая и третья бригады, работая вместе, могут выполнить то же задание за  55  дней.  За  какое  минимальное  целое  количество  дней  может  выполнить  задание  одна третья бригада? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \((4x+2a-3)(x-2a+3)log_4x=0\) имеет ровно два различных корня. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

а) Найдите  все  значения  a,  при  каждом  из  которых  корни  уравнения \(x^3+9x^2+23x+a=0\) образуют арифметическую прогрессию.  

б)  Найдите  все  значения  a,  при  каждом  из  которых  уравнение \(8x^4-(a+37)x^2+2a^2=0\) имеет  ровно  четыре  действительных  корня,  образующих  арифметическую прогрессию. 

в)  Найдите  все  значения  a,  при  каждом  из  которых  уравнение \(x^8-(109a+4)x^4+a^4=0\) имеет  ровно  четыре  действительных  корня,  образующих  арифметическую прогрессию. 

г)  Числа \(cosx, -{3cosx*ctg(2x)\over 7}, sinx\) являются  последовательными  членами  арифметической  прогрессии.  Найдите  x,  если  известно,  что  один  из  членов  этой  прогрессии равен  -0,8 . 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  школе  французский  язык  изучают  391  человек,  что  составляет  17%   учащихся.  Сколько человек в школе не изучают французский язык? 

Решение: 

Из графика видно, что ответ 7. Он отмечен красной точкой.

Ответ 7.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  четырёхугольника  ABCD ,  если  точки  имеют  следующие  координаты:  A(46; 59),  B(47; 62), C (54; 59),  D(47; 66).

Решение: 

Для удобства сместим все точки на 47 влево и на 59 вниз. 

Находим искомую площадь как разность площади прямоугольника и прямоугольных треугольников. Тогда \(S=7*8-0.5*7*7-0.5*7*1-0.5*3*1-0.5*7*3=16.\)

Ответ 16.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  артиллерийской  стрельбе  автоматическая  система  делает  выстрел  по  цели.  Если  цель  не  уничтожена,  то  система  делает  повторный  выстрел.  Выстрелы  повторяются  до  тех  пор,  пока  цель  не  будет  уничтожена.  Вероятность  уничтожения  некоторой  цели  при  первом  выстреле  равна  0,3,  при  втором  выстреле  –  0,4,  а  при  каждом  последующем –  0,6.  Сколько  выстрелов  потребуется  для  того,  чтобы  вероятность уничтожения цели была не менее 0,95? 

Решение: 

Рассчитаем вероятность того, что система не попадет по цели.

При первом выстреле она равна 1-0.3=0.7. При двух выстрелах она равна 0.7∗0.6, при трех она равна 0.7∗0.6∗(1-0.6), при четырех 0.7∗0.6∗0.4∗0.4, а при пяти 0.7∗0.6∗0.4∗0.4*0.4=0.02688. Таким образом, вероятность того, цель будет подбита после 5 выстрелов, равна 1−0.02688>0.95.

Ответ 5.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \({2\over x^2-7x}={3\over 5x-18}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. 

Решение: 

\({2\over x^2-7x}={3\over 5x-18} \Rightarrow 10x-36=3x^2-21x \Rightarrow 3x^2-31x+36=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x=9, x=8/6.\)

Выбираем больший корень.

Ответ 9.

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 В треугольнике  ABC  угол C  равен  90o ,  AC = 18, \(tg\alpha=0.5\). найдите  BC . 

Решение: 

Исходя из рисунка имеем: \(tg\alpha=BC/AC \Rightarrow BC=0.5*18=9.\)

Ответ 9.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  изображён  график  функции  \(y=f(x)\),  определённой  на  интервале \((-9; 12)\). Найдите сумму точек экстремума функции \(f(x)\). 

Решение: 

Сумма точек экстремумов равна \(1+0-1-2-5-7=-14.\)

Ответ -14.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Прямоугольный  параллелепипед  описан  около  цилиндра,  радиус  основания  которого равен 7, а высота – 9. Найдите объем параллелепипеда. 

Решение: 

Ситуация возможна тогда, когда в основании параллелепипеда лежит квадрат, тогда его сторона равна \(a=2r=14.\) В противном случае не получился описать прямоугольник около окружности.

Тогда его объем равен \(V=S_{осн}h=a^2h=1764.\)

Ответ 1764. 

Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(3(p(2x)-4p(x+3)),\) если \(p(x)=x^2-12x-3.\)

Решение: 

\(p(2x)=4x^2-24x-3, \\ p(x+3)=x^2+6x+9-12x-36-3=x^2-6x-30.\)

Тогда окончательно имеем \(3(p(2x)-4p(x+3))=3(4x^2-24x-3-4x^2+24x+120)=351.\)

Ответ 351.

Другие задачи темы: