Решения задач из варианта № 136 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Николай  решил  подсчитать,  сколько  денег  он  будет  экономить,  если  бросит  курить. Известно, что ежедневно Николай выкуривает пачку сигарет, которая стоит 60  рублей. Определите, сколько рублей Николай сэкономит за 4 года?

Решение: 

За четыре года Николай съэкономит \((365*3+366)*60=87660\) рублей.

Ответ 87660.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Для  получения  на  экране  увеличенного  изображения  лампочки  в  лаборатории  используется  собирающая  линза  с  главным  фокусным  расстоянием \(f=30\) см.  Расстояние \(d_1\) от  линзы до лампочки может изменяться в пределах от  20 до  40 см, а  расстояние \(d_2\) от  линзы  до  экрана  –  в  пределах  от  180  до  200  см.  Изображение  на  экране  будет  четким,  если  выполнено  соотношение \({1\over d_1}+{1\over d_2}={1\over f}\).  Укажите,  на  каком  наибольшем  расстоянии  от  линзы  можно  поместить  лампочку,  чтобы  ее  изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах. 

Решение: 

Если нужно найти наибольшее расстояние от линзы до лампочки, то расстоние от лизны до экрана будет наименьшим, иначе начальное соотношение не будет выполняться. Тогда имеем уравнение для нахождения искомого расстояния \({1\over d_1}+{1\over 180}={1\over 30} \Rightarrow d_1=36.\)

Ответ 36.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Фермер  в  октябре  продавал  картофель  в  два  раза  дешевле,  чем  в  марте.  При  этом выручка от продажи картофеля в октябре оказалась на 53% ниже по сравнению с  мартом.  Определите,  на  сколько  процентов  меньше  картофеля  продал  фермер  в  октябре, чем в марте? 

Решение: 

Пусть фермер в марте продал \(x\) продукции, а в октябре он продал \(y\) продукции. Пусть цена в марте была \(z\), тогда в октябре по условию она стала \(0.5z.\) Составим уравнение для выручки, зная, что в октябре она стала на 53% меньше, чем в марте: \(0.5zy=0.47zx \Rightarrow y=0.94x.\) Тогда картофеля фермер продал в октябре на 6% меньше, чем в марте.

Ответ 6.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наибольшее значение функции \(y=18-\sqrt [6] {x^2-12x+100}.\)

Решение: 

Преобразуем функцию, выделим под корнем полный квадрат \(y=18-\sqrt [6] {x^2-12x+100}=18-\sqrt [6]{x^2-2*6x+36-36+100}=\\=18-\sqrt [6] {(x-6)^2+64}.\)

Наибольшее значение у функции будет, если корень примет наименьшее значение. Последнее возможно тогда, когда \(x = 6\). На самом деле, под корнем имеем параболу, ветви направлены вверх. Ее наименьшее значение в вершине. Окончательный ответ \(y_{max}=y(6)=16.\)

Ответ 16.

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(3*16^{0.5sin2x}=2*9^{sin2x}.\)

а) Решите уравнение.

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку \([{\pi \over 4}; {3\pi \over 2}].\)

Решение: 

\(3*16^{0.5sin2x}=2*9^{sin2x} \Rightarrow {3\over 2}={9^{sin2x}\over 4^{sin2x}} \Rightarrow 1.5^1=1.5^{2sin2x} \Rightarrow \\ \Rightarrow sin2x=0.5 \Rightarrow x=(-1)^n{\pi\over 12}+{\pi n \over 2}, n- целое.\)

Кони выбираем подстановкой целого числа \(n\)  в решение и с помощью единичной окружности.

Ответ 

а) \(x=(-1)^n{\pi\over 12}+{\pi n \over 2}, n- целое.\)

б) \({5\pi \over 12}, {13\pi \over 12}, {17\pi \over 12}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В прямоугольном параллелепипеде  \(ABCDA_1B_1C_1D_1 AB=3, AA_1=4, AD=5.\) 

А) Докажите, что точки  \(B, C_1, D, A_1\)  не лежат в одной плоскости.

Б)  Найдите объем многогранника с вершинами в точках  \(B, C_1, D, A_1\).   

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \((4x^2-16x+16)^{log_8 \sqrt2x}>(4-2x)^{\sqrt{log_2x}}.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.  Площади треугольников АОВ и СОD равны. 

А) Докажите, что точки А и D одинаково удалены от прямой ВС. 

Б)  Найдите  площадь  треугольника  АОВ,  если  известно,  что  АВ=13,  ВС=10,  СD=15,  DA=24. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Три завода выпускают одинаковую продукцию. Известно, что ежегодный объём  продукции на первом заводе составляет треть от суммы ежегодных объёмов продукции  на втором и третьем заводах, а объём продукции на втором заводе составляет восьмую  часть от суммы ежегодных объёмов на первом и третьем заводах.  Найдите отношение  суммы ежегодных  объёмов  продукции, выпускаемых  на  первом  и втором  заводах, к  ежегодному объёму продукции, выпускаемой на третьем заводе.  

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.  

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Рисунок: 
Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 Про натуральные числа а, b и с известно, что \(10<=a<=24, 25<=b<=35, 60<=c<=70\). 

А) Может ли сумма чисел а и b равняться числу с?   

Б) Может ли произведение чисел а и с равняться квадрату числа b?  

В) Найдите наименьшее из возможных значений выражения \({abc\over ab+bc+ca}.\).     

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике показано изменение  температуры воздуха на протяжении  трех суток,  начиная  с  0  часов  четверга.  На  оси  абсцисс  отмечается  время  суток  в  часах,  на  оси  ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику разность между  наибольшей и наименьшей температурой в пятницу. Ответ дайте в градусах Кельвина. 

Решение: 

В пятницу наибольшаяя температура была 15 градусов, а наименьшая - 9 градусов. Разница междц ними равна 6 градусов.

Ответ 6.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  угол  между  векторами \(a(\sqrt3; 0), b(2; -2\sqrt3)\).  Ответ  дайте  в  градусах.

Решение: 

Угол между векторами найдем через их скалярное произведение. \(a*b=|a|*|b|*cos\alpha=a_x*b_x+a_y*b_y \Rightarrow cos\alpha={a_x*b_x+a_y*b_y\over |a|*|b|}.\)

Тогда в соответствии с полученной формулой имеем: \(cos\alpha={\sqrt3*2-0*2*\sqrt3\over \sqrt{3+0}*\sqrt{2^2*4*3}}=0.5 \Rightarrow \alpha=60^o.\)

Ответ 60.

Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Команда  бобслеистов  состоит  из  четырех  человек.  Если  хотя  бы  один  спортсмен  заболеет, то команда не выходит на старт. Вероятность заболеть для первого участника  команды составляет 0,1,  для второго – 0,2, а для третьего – 0,3, а для четвертого – 0,4.  Какова вероятность, что команда бобслеистов не выйдет на старт?

Решение: 

Найдем вероятность того, что команда выйдет на старт: \(P-1=(1-0.1)*(1-0.2)*(1-0.3)*(1-0.4)=0.3024.\)

Тогда вероятность того, что команда не выйдет на старт, равна \(P=1-P_1=0.6976.\)

Ответ 0.6976.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(log_{-x}(x^2+6x+6)=1.\). Если корней несколько, то  в ответе укажите их сумму. 

Решение: 

\(log_{-x}(x^2+6x+6)=1 \Rightarrow x^2+6x+6=-x \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2+7x+6=0 \Rightarrow x=-1, x=-6.\)

Корень \(x=-1\) откидываем в соответствии с ОДЗ.

Сумма корней равна -6.

Ответ -6.

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  четырехугольник  со  сторонами  6,  10,  12  и  8  (рисунок)  вписана  окружность.  Найдите  площадь  четырехугольника,  если радиус  r окружности равен \(11/3\). 

Решение: 

Площадь такого описанного четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус окружности \(S=p*r=66.\) Эту формулу легко получить. На самом деле, площадь состоит из площадей четырех треугольников, площадь каждого из которых равна половине произведения длины высоты на на длину основания. Высоты в них - это радиусы окружности, а основания - стороны четырехугольника.

Ответ 66.

Рисунок: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Функция \(f(x)\) определена  при  всех  действительных \(x\). На рисунке изображен  график  \(f^\prime(x)\) её  производной.   Найдите  значение  выражения  \(f(3)-f(-6)\).   

Решение: 

Находим уравнение производной: \(y=2x-1.\) Для этого записали уравнение прямой с уголовым коэффициентом, который равен тангенсу угла наклона прямой. Далее интегрируем эту функцию и получаем искомую функцию \(f(x)=x^2-x+c,\) в которую подставляем значения \(x\) для нахождения значения искомого выражения. В ответе получаем -36. Константа \(c\) при этом сокращается при вычислении значения выражения.

Ответ -36.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

\(PABCDEF\) – правильная шестиугольная пирамида. Известно, что объем многогранника с вершинами в точках \(P, A, B, C\) равен 12. Найдите объем многогранника   с вершинами в точках \(P, A, C, D, E, F.\)

Решение: 

Формула для объема пирамиды \(V=1/3*S_{осн}*H.\)

В данном случае пирамиды имеют одну высоту, а основания у них относятся как 1 к 5. Это легко заметить, если рассмотреть треугольники, из которых состоят основания пирамид. Тогда объем большой пирамиды равен \(V=12*5=60.\)

Ответ 60.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({12cos48^o*cos138^o\over sin84^o}.\)

Решение: 

Применим формулы приведения и формулу для синуса двойного угла: \({12cos48^o*cos138^o\over sin84^o}=-{12cos48*sin48\over 2sin42cos42}=-6{sin42*cos42\over sin42*cos42}=-6.\)

Ответ -6.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?