Решения задач из варианта № 137 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Робинзон Крузо любил бродить по острову. Однажды в воскресенье в 8 часов утра  он отправился осматривать противоположную сторону острова. Сколько часов длилась  прогулка  Робинзона,  если  известно,  что  он  вернулся  назад  в  следующую  субботу  вместе с Пятницей в 9 часов вечера. 

Решение: 

В воскресенье он гулял 24-8=16 часов, с понелельника по пятницу включительно он гулял 24 каждый день и в субботу только 21 час. Тогда всего он пробыл на прогулке \(16*5*24+21=157\) часов.

Ответ 157.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На камень, лежащий на дне водоема, действует сила Архимеда  \(F_A=\rho gV\) и  сила  тяжести \(F_T=mg\).  Какую  силу  надо  приложить,  чтобы  поднять  под  водой  камень  массой  30  кг,  объем  которого  0,013  м3?  Ответ  запишите  в  килоньютонах.  (Считать, что g=10 H/кг , плотность воды равна 1000 кг/м3). 

Решение: 

Величина силы равна разнице между величиной силы тяжести и силы Архимеда. Только в этом случае камень получится поднять над поверхностью воды.

Тогда \(F=F_T-F_A=10*30-1000*10*0.013=170.\) В килоньютонах сила равна 0.17 кН.

Ответ 0.17.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Рабочие  прокладывают  туннель  длиной  1,2  км,  ежедневно  увеличивая  норму  прокладки  на  одно  и  то  же  число  метров.  Известно,  что  за  первый  день  рабочие  проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие  в последний день, если вся работа была выполнена за 15 дней.   

Решение: 

Пусть \(x\) м - количество метров, на которое рабочие увеличивали норму ежедневно. Тогда всего они вырыли \(3+(3+x)+(3+2x)+...+(3+14x) \) метров. Найдем сумму первых 15 членов этой арифметической прогрессии, она по условию равна 1200 м. Отсюда и получим уравнение для поиска неизвестного. \({3+(3+14x)\over 2}*15=1200 \Rightarrow x=11.\) Тогда в последний день они вырыли 157 м.

Ответ 157.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найти наибольшее значение функции \(f(x)={28\over 4x^2-28x+89}.\)

Решение: 

В знаменателе выделим полный квадрат. \(f(x)={28\over 4x^2-28x+89}={28\over (2x)^2-2*2x*7+49-49+89}={28\over (2x-7)^2+40}.\)

Наибольшее значение будет, когда знаменатель будет наименьшим, то есть, при \(x =7/2.\) Тогда \(maxf(x)=28/40=0.7.\)

Ответ 0.7.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(2|cos3x|+|sinx|=sinx.\)

А) Решите уравнение.      

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([{3\pi \over 4}; {9\pi \over 4}].\)    

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной треугольной  пирамиде  SABC  с  основанием  АВС  известны  ребра \(AB=8\sqrt3, SC=17.\)

А) Докажите, что прямые АВ и SC перпендикулярны. 

Б)  Найдите  площадь  сечения  пирамиды  плоскостью,  проходящей  через  точки А, В  и  середину высоты пирамиды, проведенной из вершины  S.  

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - Alexlarin.com

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(2^{2x-x^2-1}+{1\over {2^{2x-x^2}-1}}<=2.\)

Решение: 

Решение во вложении. 

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Равносторонний  треугольник  АВС  и  три  одинаковые  окружности  расположены  таким  образом,  что  каждая  окружность  касается  двух  сторон  треугольника  и  двух  других окружностей.  

А)  Докажите,  что  точки  попарного  касания  окружностей  являются  вершинами  равностороннего треугольника.  

Б)  Найдите радиус окружностей, если известно, что АВ= 4. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Анатолий  решил  взять  кредит  в  банке  331000  рублей  на  3  месяца  под  10%  в  месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.   По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся  сумму  долга  (то  есть  увеличивает  долг  на  10%),  затем  Анатолий  переводит  в  банк  фиксированную  сумму  и  в  результате  выплачивает  весь  долг  тремя  равными  платежами (аннуитетные платежи).   По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а  затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце  каждого  месяца,  подбираются  так,  чтобы  в  результате  сумма  долга  каждый  месяц  уменьшалась  равномерно,  то  есть  на  одну  и  ту  же  величину  (дифференцированные  платежи).   Какую  схему  выгоднее  выбрать  Анатолию?  Сколько  рублей  будет  составлять  эта  выгода?   

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  все  а,  при  каждом  из  которых  уравнение \({\sqrt{2x^2+ax+2a+10}=x-1}\) не имеет действительных корней. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

А) Найдите наименьшее натуральное число такое, что оно не является делителем  100!   

Б) Определите, на какую наибольшую степень 10 делится 100!   

В) Найдите последнюю ненулевую цифру в записи числа, равного 100! 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Кофейная фабрика “Milagro” 1 января 2007  года выпустила в продажу два новых  сорта растворимого кофе – ”Gold” и “Аroma”. На графиках показано, как эти два сорта  продавались в течение всего 2007 года.   По  горизонтальной  оси  откладывается  время,  прошедшее  с  начала  продаж,  в  месяцах; по вертикальной – количество проданного за это время кофе, в тоннах.   На сколько тонн меньше было продано сорта “Gold”, нежели сорта “Aroma” к началу  октября 2007 года?

Решение: 

По графику видно, что разница составляет 7 тонн.

Ответ 7.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  закрашенной  фигуры  в  квадратных  сантиметрах, если размер клетки 1 см х 1 см.

Решение: 

Площвдь легко найти как разность площадь большого квадрата 7 на 7 см и площадей малых треугольников и прямоугольника в центре. Сделаем это.

\(S=7*7-3*1-8*(0.5*1*1)-4*(0.5*6*1)-2*(0.5*3*1)=\\=49-3-4-12-3=39-12=27.\)

Ответ 27.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

По  статистическим  данным вероятность  того,  что  телефон  марки  “Sumsung”,  купленный    в  магазине  “Евросеть”,  прослужит  больше  четырёх  лет  равна  0,83.  Вероятность  того, что он прослужит больше пяти  лет,  равна  0,66. Найдите вероятность  того, что телефон данной марки выйдет из строя в течение пятого года эксплуатации. 

Решение: 

Вероятность искомого события равна \(P=0.83-0.66=0.17.\)

Ответ 0.17.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  параллелограмме  АВСD  диагонали  пересекаются  в  точке  О.  Известно,  что  стороны  АВ  и  СВ  равны  соответственно 6 и 9, а диагональ ВD равна \(\sqrt{38}\). Найдите  длину отрезка АО

Решение: 

По свойству диагоналей параллелограмма \(AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2) \Rightarrow AO=0.5\sqrt{2(AB^2+BC^2)-BD^2}, \) тогда искомый отрезок равен \(AO=7.\)

Ответ 7.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На графике функции \(y=f(x)\) отмечены  семь точек с абсциссами ‐7, ‐5,  ‐3,  ‐2,  1,  2,   5.  По  данному графику определите, в  какой из этих точек значение производной \(f^\prime(x)\), будет наименьшим.  (В ответе укажите абсциссу этой точки). 

Решение: 

Только в точке -7 функция убывает, в ней производная отрицательна. Во всех других точках функция или имеет экстремум (производная равна нулю), или возрастает (производная положительна).

Тогда ответом будет точка -7.

P.S. Еще в точке -2 похоже, что функция убывает, но наклон в этой точке меньше, чем в точке -7. Поэтому даже если в этой точке производная отрицательна, то она по модулю будет меньше значения производной в точке -7.

Ответ -7.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  шар  вписан  конус  так,  что  центр  основания  конуса  совпадает с центром шара. Найдите площадь поверхности шара,  если известно, что длина образующей конуса равна \({3\sqrt3 \over \sqrt{2\pi}}.\)

Решение: 

Из сечения конуса находим, что его высота и радиус основания совпадают с радиусом шара. Тогда \(r^2+r^2={3\sqrt3 \over \sqrt{2\pi}}^2 \Rightarrow r^2={27\over 4\pi}.\)

Тогда площадь поверхности шара равна \(S=4\pi r^2=27.\)

Ответ 27.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Известно, что \(cos2x=0.7.\) Найдите значение выражения \(2sin^2x-3.\)

Решение: 

По формуле косинуса двойного угла \(cos2x=1-2sin^2x \Rightarrow 2sin^2x=0.3.\) Тогда \(2sin^2x-3=-2.7.\)

Ответ -2.7.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?