Решения задач из варианта № 138 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Три  землекопа  за  два  часа  выкопают  три  ямы.  Сколько  ям  выкопают  шесть  землекопов за пять часов? 

Решение: 

Производительность одного землекопа равна \({3\over 2*3}=0.5\) ямы в час. Тогда шесть  землекопов за пять часов выкопают \(0.5*6*5=15\) ям.

Ответ 15.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть пути  он  половину  времени  двигался  со  скоростью  10  км/ч,  а  последний  участок  –  со  скоростью 20 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля на всем пути? Ответ дайте в  км/ч. 

Решение: 

Пусть все расстояние равно единице (1).

Время на первом участке \(0.5/60=1/120 \) часа.

На втором участке средняя скорость была \((10+20)/2=15\) км/ч.

Тогда по определению средняя скорость равна \({1\over {1/120+0.5/15}}=120/5=24\) км/ч.

Средняя скорость - все расстояние делить на все затраченное время.

Ответ 24.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Имеется 10 ящиков. В некоторых из них лежат по 10 ящиков меньшего размера, а  в некоторых из меньших ящиков лежат еще по 10 ящиков. Сколько всего ящиков, если  заполненных оказалось 54?  (Заполненным считается ящик, в котором находится хотя  бы один ящик меньшего размера). 

Решение: 

Всего есть изначально 10 ящиков.

Если внутрь какого-нибудь ящика положить еще 10 ящиков, то получим заполненный ящик.

Таким образом, если у нас есть 54 заполненных ящика, то внутри у них 540 ящиков. Следовательно, всего 550 ящиков.

Ответ 550.

 

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение выражения \({16x^3 \over y}+{y^3 \over x}-\sqrt{xy}.\)

Решение: 

Сделаем замену \({16x^3\over y}=t, {y^3\over x}=k.\) Заметим, что \(t,k>0.\) 

Тогда поучим \({16x^3 \over y}+{y^3 \over x}-\sqrt{xy}=t+k-{\sqrt [4]{tk}\over 2}=(\sqrt t-\sqrt k)^2+2\sqrt{tk}-{\sqrt [4]{tk}\over 2}>=2\sqrt{tk}-{\sqrt [4]{tk}\over 2}.\)

Осталось найти наименьшее значение выражения функции \(g(m)=2m^2-m/2,\) где \(m=\sqrt [4]{tk}.\)

Ее наименьшее значение находим посредством выделения полного квадрата, а именно \(g(m)=0.5(m-1/8)^2-1/32.\)

Выполните это самостоятельно.

Тогда ответ будет -1/32=-0.03125, так как в функции \(g(m)\) выражение в квадрате всегда больше или равно нуля.

Ответ -0.03125.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(2015^x+2016*2015^{1-x}-4031=0.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([log_{2017}2016; log_{2016}2017].\)

Решение: 

Произведем замену \(y=2015^x,\) получим квадратное уравнение относительно \(y.\)

\(y+2016*2015/y-4031=0 \Rightarrow y^2-4031y+2015*2016=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow y=2016, y=2015.\)

Тогда получаем \(x=1, x=log_{2015}2016.\)

Ответ 

а) \(x=1, x=log_{2015}2016.\)

б) \(x=1.\)

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар. 

А) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара. 

Б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему  той части шара, которая лежит вне конуса.    

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята точка Е. Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\), вписанные в треугольники АВЕ и СВЕ, касаются прямой ВЕ в точках К и М соответственно.

А)  Докажите, что \(KM=0.5|CE-AE|.\)

Б) Определите,  на  сколько  радиус  окружности  \(\omega_2\) больше  радиуса  окружности \(\omega_1\),  если  известно,  что  АЕ=9,  СЕ=15, а  радиус  вписанной  в  треугольник  АВС  окружности  равен 4. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Имеется  две  одинаковых  по  объёму  банки:  первая  с мёдом, а вторая  с  дёгтем.  Шутник взял ложку дёгтя из второй банки и добавил её в банку с мёдом. Перемешав  содержимое в первой банке, шутник перелил такую же ложку смеси во вторую банку.  Потом он проделал всё это ещё раз: из второй банки перелил ложку полученной смеси  в  первую,  после  чего  из  первой  банки  перелил  ложку  новой  смеси  во  вторую.  Определите, чего оказалось больше: дегтя в мёде или мёда в дёгте? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все  значения  параметра а, при каждом  из которых система имеет  ровно четыре решения. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Рисунок: 
Файл с решением: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Используя  каждую  из  цифр  0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9  по  одному  разу,  составьте  такие два пятизначных числа, чтобы  А) их разность была наибольшей;  Б) их разность была по модулю наименьшей;  В) их произведение было наибольшим. 

Решение: 

Решение по ссылке.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  таблице  приведена  статистика  набранных  очков  на  тай‐брейке  волейбольного  матча  между  «Белогорьем»  и  казанским  «Зенитом».  Определите,  сколько  розыгрышей мяча на тай‐брейке происходило при равном счёте. 

Решение: 

Таких розыгрышей было 10 штук:  (0;0), (1;1), (4;4), (5;5), (9;9), (10;10), (11;11), (12;12), (13;13), (14;14).

Ответ 10.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Размер клетки 1х1. Найдите тангенс угла АВС.

Решение: 

Искомый тангенс равен \(tgABC=tg(180^o-({EBA+DBC}))=-tg(EBA+DBC)=\\={tgEBA+tgDBC\over 1-tgEBA*tgDBC}=1.75.\)

Тангенсы углов EBA, DBC находим из прямоугольных треугольников EBA, DBC как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Использовали также формулу тангенса суммы двух углов.

Ответ 1.75.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Бобчинский, Добчинский и Городничий играют в преферанс. После раздачи карт  Бобчинский,  заглянув  незаметно  в  карты  к  Городничему,  заказал  мизер.  Какова  вероятность,  что  Бобчинский  получит  с  прикупа  двух  тузов,  если известно,  что  ни  у  него, ни у Городничего на руках тузов нет? Ответ округлите до сотых.   (При  игре  в  преферанс  используются  32  карты:  от  7  до  туза  каждой  масти.  Каждому  из  трех  игроков  раздается  по  10  карт,  оставшиеся  две  –  прикуп  –  откладываются в сторону) 

Решение: 

По условию ни у Бобчинского, ни у Городничего тузов нет. То есть, все четыре туза в оставшихся 12 картах (10 у Добчинского и 2 в прикупе).

Вероятность того, что в прикупе есть четыре туза, равна \(P={4\over 12}*{3\over 11}=0.09.\) Здесь сначала ставим первый туз в прикуп (4 туза из 12), а затем второй туз в прикуп (3 туза из 11 карт, так как первый туз уже попал в прикуп).

Ответ 0.09.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения  \(arccos4x+arccos2x={\pi \over 3}\).

Решение: 

Возьмем косинус от правой и левой части уравнения

 \(arccos4x+arccos2x={\pi \over 3} \Rightarrow \\\Rightarrow 4x*2x-sin(arccos4x)*sin(arccos2x)=0.5 \Rightarrow \\ \Rightarrow 8x^2-\sqrt{1-16x^2}*\sqrt{1-4x^2}=0.5 \Rightarrow \\ \Rightarrow (8x^2-0.5)^2-(1-16x^2)(1-4x^2)=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 12x^2=0.75 \Rightarrow x=\pm0.25.\)

Проверяем корни подстановкой в уравнение и получаем, что подходит только корень \(x=0.25.\)

Ответ 0.25.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Середины сторон невыпуклого четырехугольника  АВСD являются вершинами четырехугольника КLMN с  площадью  12.  Найдите  площадь  четырехугольника   АВСD. 

Решение: 

Отметим сначала подобные треугольники:

ABD и AKN, KBL и ABC, CLM и CBD, ADC и DMN. Коэффициент подобия равен 0.5, тогда их площади относятся как 1 к 4.

Обозначим неизвестную площадь через s. Тогда запишем для нее выражение:

 \(s=S_{AKN}+S_{CLM}+S_{KBL}+12-S_{DMN}=\\=0.25S_{ABD}+0.25S_{CBD}+0.25S_{ABC}-0.25S_{ADC}+12=\\=0.25s+0.25s+12 \Rightarrow s=24.\)

Ответ 24.

Рисунок: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите производную функции \(y=(2015x)^{2016x} \) в точке \(x_0=1/2015.\)

Решение: 

Запишем функцию в виде \(y=e^{ln(2015x)^{2016x}}.\) Тогда найдем ее производную

 \(y^\prime=e^{ln(2015x)^{2016x}}(2016*ln(2015x)+2016x*{1\over 2015x}*2015)=\\=(2015x)^{2016x}*(2016*ln(2015x)+2016).\)

Тогда \(y^\prime(1/2015)=2016.\)

Ответ 2016.

Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Между  двумя  параллельными  плоскостями  заключены  перпендикуляр  длиной  4  м  и  наклонная,  равная  6  м.  Расстояния  между  их  концами  в  каждой  плоскости  равны  по  3  м.  Найдите  расстояние  между  серединами  перпендикуляра  и  наклонной.  Ответ  дайте  в  метрах. 

Решение: 

Здесь все показано на картинке с решением, которая приведена ниже и позаимствована с форума alexlarin.com.

Нам нужно найти отрезок FT в нижней плоскости, который является проекцией искомого отрезка MN.

Он легко находится из равнобедренного треугольника AKT. Длина искомого отрезка равна 2.

При этом \(AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=2\sqrt5.\)

Ответ 2.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({log_{2/3}30*log_{2/5}30\over log_{2}30}+{log_{3/5}30*log_{3/2}30\over log_{3}30}+{log_{5/2}30*log_{5/3}30\over log_{5}30}.\)

Решение: 

Перейдем к основанию 30 у всех логарифмов.

1 дробь

\({1\over log_{30} 2/3}*{1\over log_{30} 2/5}={1\over (log_{30}2-log_{30}3)*(log_{30}2-log_{30}5)}.\)

2 дробь

\({1\over log_{30} 3/5}*{1\over log_{30} 3/2}={1\over (log_{30}3-log_{30}5)*(log_{30}3-log_{30}2)}.\)

3 дробь

\({1\over log_{30} 5/2}*{1\over log_{30} 5/3}={1\over (log_{30}5-log_{30}2)*(log_{30}5-log_{30}3)}.\)

В знаменателях будет ситуация аналогичная. Теперь если все привести к общему знаменателю, то нетрудно заметить, что в числителе будет ноль.

Ответ 0.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?