Решения задач из варианта № 139 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  оплате  услуг  через  платежный  терминал  взимается  комиссия  9%.  Терминал  принимает  суммы  кратные  10  рублям.  Виктор  хочет  положить  на  счёт  своего  мобильного  телефона  не  менее  340  рублей.  Какую  минимальную  сумму  он  должен  положить в данный терминал? 

Решение: 

Виктору нужно заплатить \(340*1.09=370.6\) рублей.

Ответ 380.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  движении  ракеты  её  видимая  для  неподвижного  наблюдателя  длина,  измеряемая в метрах, сокращается по закону \(l=l_0\sqrt{1-{v^2\over c^2}}\), где  l0=5  м – длина  покоящейся  ракеты,  с  =  3∙105  км/с  –  скорость  света,  а  v  –  скорость  ракеты  (в  км/с).  Какова  должна  быть  минимальная  скорость  ракеты,  чтобы  её  наблюдаемая  длина  стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с. 

Решение: 

Выразим неизвестную скорость из данного выражения и подставим в него все известные величины.

\(4=5\sqrt{1-{v^2\over c^2}} \Rightarrow {v^2\over c^2}=9/25 \Rightarrow v=3c/5=180000\) км/с.

Ответ 180000.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой  трассе  протяжённостью  3  км.  Оба  гонщика  стартовали  одновременно,  а  на  финиш  первый  пришёл  раньше  второго  на  10  минут.  Чему  равнялась  средняя  скорость  второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на  круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч. 

Решение: 

Из первого условия составляем первое уравнение, а из второго - второе уравнение. Обозначим через \(x\) - скорость первого, а через \(y\) - скорость второго. Тогда имеем первое уравнение: \({60*3\over x}+{10\over 60}={60*3 \over y}.\)

Второе уравнение (первый обогнал второго на круг уже через 15 минут после старта): \((x-y){15\over 60}=3.\) Из  второго уравнения выражаем \(x=y+12\) и подставляем в первое уравнение. В итоге имеем квадратное уравнение \(y^2+12y-12960=0\) с единственным положительным корнем \(y=108.\)

Ответ 108.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(f(x)={2\over 3}x^{3\over 2}-3x+1\) на отрезке \([1; 9].\)

Решение: 

Ищем производную, приравниваем нулю и находим критические точки. Ищем значения функции в критических точках (если они попадают в интересующий отрезок) и в концах отрезка. Выбираем наименьшее значение из получившихся.

\(f\prime(x)=\sqrt x-3 \Rightarrow \sqrt x=3 \Rightarrow x=9.\)

\(f(1)=-{4\over 3},\\f(9)=-8.\)

Ответ -8.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(\sqrt{12*2^{sinx}-4}=3*2^{sinx}\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\pi;{\pi \over 2} ].\)

Решение: 

Делаем замену \(y=2^{sinx}.\) Возводим в квадрат уравнение, получаем квадратное уравнение \(9y^2-15y+4=0.\) Его корни \(y=4/3, y=1/3.\) Оба проходят в ОДЗ.

Далее возвращаемся в первоначальной переменной \(x.\) Второй корень не подходит, так как \(|sinx|<=1.\) Тогда имеем решение

а) \(x=(-1)^narcsin(log_2{4\over 3})+\pi n, n -\)целое.

б) \(-arcsin(log_2{4\over 3}).\)

Ответ 

а) \(x=(-1)^narcsin(log_2{4\over 3})+\pi n, n -\)целое.

б) \(arcsin(log_2{4\over 3}).\)

 

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике  показан  процесс  разогрева  двигателя    автомобиля  LADA  Kalina  при  температуре  окружающего  воздуха  8°С.  На  оси  абсцисс  откладывается  время  в  минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в  градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается  вентилятор,  охлаждающий  двигатель,  и  температура  начинает  понижаться.  Определите  по  графику,  сколько минут  прошло  с  момента  запуска  двигателя  до  включения  вентилятора? 

Решение: 

По графику - 8 минут.

Ответ 8.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см.   Найдите косинус большего угла треугольника АВС.

Решение: 

\(cos(ACB)=cos(180^o-{<}ACK)=-cos(ACK)=-4/5=-0.8.\)

Отвте -0.8.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Витя дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало менее 10 очков.  Найдите вероятность того, что ни при одном из бросков не выпало 6 очков. 

Решение: 

Всего возможно 36 различных вариантов сочетания цифр при кидании двух кубиков. Среди них только 30 штук в сумме дадут менее 10 очков.

Более 10 очков будет при выпадании:

6 и 6, 5 и 6, 6 и 5, 4 и 6, 6 и 4, 5 и 5.

Среди этих 30-ти  только в 6-ти случаях будет содержаться цифра 6: 1 и 6, 6 и 1, 2 и 6, 6 и 2, 3 и 6, 6 и 3.

Тогда искомая вероятность равна (по классическому определению): \(P={30-6\over 30}=0.8.\)

Ответ 0.8.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \((2\sqrt2)^{2x+1.6}={1\over 64}.\)

Решение: 

\((2\sqrt2)^{2x+1.6}={1\over 64} \Rightarrow 2^{1.5(2x+1.6)}=2^{-6} \Rightarrow \\ \Rightarrow 2^{3x+2.4}=2^{-6} \Rightarrow 3x+2.4=-6 \Rightarrow x=-2.8.\)

Ответ -2.8.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  диаметр  окружности,  описанной  около  равнобедренного    треугольника  с  основанием  24  и  боковой  стороной 13.

Решение: 

На рисунке зеленым отмечены радиусы окружности, а красным - высота равнобедренного треугольника.

Угол \(\alpha\) обозначен через a. Из прямоугольного треугольника имеем \(cos\alpha={6.5 \over r}.\) С другой стороны \(cos\alpha=5/13.\) Тогда найдем радиус и диаметр окружности \(d=2r={6.5 \over cos\alpha}=33.8.\)

Ответ 33.8.

Рисунок: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вычислите \(\int _{-4}^4f(x)dx, f(x)=2-{|x|\over 2}.\)

Решение: 

Вычислим интеграл как площадь под кривой. Если изобразить график подынтегральной функции, то получим равнобедренный треугольник, площадь которого равна 8. 

Треугольник получаем при раскрытии модуля и изображении на координатной плоскости двух прямых.

Из геометрического смысла интеграла имеем, что определенный интеграл являет собой площадь.

Ответ 8.

Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите объём указанного многогранника.   Все двугранные углы прямые. 

Решение: 

Здесь все просто. Разбиваем фигуру на два прямугольных параллелепипеда. Имеем \(V=9*4*2+3*3*4=108.\)

Ответ 108.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вычислите \(3.2*cos36^o*cos72^o.\)

Решение: 

Умножим и разделим выражение на \(sin36^o.\) Тогда получим \({3.2*cos36^o*cos72^o*sin36^o\over sin36^o}={1.6sin72*cos72\over sin36}=\\={0.8sin144\over sin36}={0.8sin(180-36)\over sin36}=0.8.\)

При вычислении пользовались формулой синуса двойного угла и формулой приведения.

Ответ 0.8.

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?