Решения задач из варианта № 140 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  первую  часть  пути  автобус  потрати 3/5  имеющегося  бензина,  а  на  вторую  часть пути – 6/7 остатка. Сколько литров бензина было изначально, если в конце пути  его осталось 20 л?

Решение: 

Составим уравнение для решения задачи.

Пусть всего было \(x\) литров бензина. Тогда имеем уравнение 

\({3\over 5}x+(1-{3\over 5})*{6\over 7}x+20=x \Rightarrow \\ \Rightarrow {(21+12)\over 35}x+20=x \Rightarrow x=350.\)

Ответ 350.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Деталью  некоторого  прибора  является  вращающаяся  катушка.  Она  состоит  из  трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=8 кг и радиуса R=5 см,  и  двух  боковых  с  массами  M=2  кг  и  с  радиусами  R+h.  При  этом  момент  инерции  катушки  относительно  оси  вращения,  выражаемый  в  2 кг×см,  задаётся  формулой \(I={{(m+2M)}R^2\over 2}+M*(2Rh+h^2)\).  При каком  максимальном  значении  h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1900  2 кг× см ? Ответ  выразите в сантиметрах. 

Решение: 

Подставим все известные в формулу и получим уравнение для нахождения неизвестной величины.

\(1900={(8+4)\over 2}*25+2(2*5h+h^2)\Rightarrow \\ \Rightarrow h^2+10h-875=0 \Rightarrow h=25.\)

Выбираем только положительный корень, так как расстояние - всегда неотрицательная величина.

Ответ 25.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На изготовление 112 деталей первый токарь затрачивает на 2 часа меньше, чем  второй токарь на изготовление 150 таких же деталей. Известно, что первый токарь за  час  делает  на  3  детали  больше,  чем  второй.  Сколько  деталей  в  час  делает  второй  токарь? 

Решение: 

Пусть производительность первого токаря \(x\) деталей в час, а второго - \(y\) деталей в час.

Тогда составим два уравнения из двух условий задачи:

\({112\over x}+2={150\over y}, \\x-3=y.\)

Решая уравнения в системе, находим, что \(y=25\) деталей в час.

Ответ 25.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку минимума функции \(f(x)=(x^2+x)^2-3x^2. \) Если точек минимума несколько, то в ответе запишите их сумму.

Решение: 

Находим производную, приравниваем нулю и определеяем критчиеские точки. Эти точки проверяем на экстремум. Если производная при переходе через критичскую точку меняет свой знак в отрицательного (функция убывает) на положительный (функция возрастает), то такая точка является точкой минимума функции.

\(f^\prime(x)=2(x^2+x)(2x+1)-6x=\\=4x^3+4x^2+2x^2+2x-6x=2x(2x^2+3x-2)=2x(x+2)(x-0.5).\)

Отсюда имеем три критические точки 0, -2, 0.5.

Две из них -2 и 0.5 - тчоки минимума. Проверьте это сами.

Ответ -1.5.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(sinx(4sinx-1)=2+\sqrt3cosx.\)

а) решите уравнение.

б) найдите его корни, принадлежащие отрезку \([-{7\pi \over 2}; -2\pi].\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник  - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной  четырехугольной  пирамиде  РАВСD  высота  РО  в  полтора  раза  больше, чем сторона основания.

А)  Докажите,  что  через  точку  О  можно  провести  такой  отрезок  КМ  с  концами  на  сторонах   AD  и  ВС    соответственно,  что  сечение  РКМ    пирамиды  будет  равновелико  основанию пирамиды. 

Б)  Найдите  отношение  площади  полной  поверхности  пирамиды  РАВМК    к  площади  полной поверхности пирамиды РАВСD.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \({4^{x^2-2x}-16*2^{(x-1)^2}+35\over 1-2^{(x-1)^2}}<=4^x*2^{(x-2)^2}.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из точки М, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры  АВ и СD  опущены  перпендикуляры МК и МР соответственно.

А) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек М, О, Р, К. 

Б)  Найдите  площадь  треугольника  МКР,  если  известно,  что  угол МКР = 30°,   угол АОС =15°, а радиус окружности равен 4.      

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Леонид  является   владельцем   двух   заводов   в   разных   городах.   На   заводах   производятся  абсолютно  одинаковые приборы,  но  на  заводе,  расположенном  во   втором  городе,  используется  более  совершенное  оборудование.    В результате, если рабочие на заводе, расположенном  в  первом  городе,  трудятся суммарно  4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят  t  приборов;  если  рабочие  на  заводе,  расположенном  во  втором  городе,  трудятся   суммарно   t3 часов  в неделю, они производят  t  приборов.   За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1  тысячу  рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую  наименьшую  сумму  придется  тратить  владельцу  заводов  еженедельно  на  оплату  труда рабочих?   

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  все  значения  а,  при  каждом  из  которых  система  уравнений имеет ровно три решения.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Рисунок: 
Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В таблице показаны результаты ЕГЭ по математике (Профильный уровень) за 2015  год в 11А классе одной из школ города Новоэнска. Определите средний балл за ЕГЭ в  11А классе. Ответ округлите до целых.   

Решение: 

Средний балл - общее число баллов поделить на число учеников.

Тогда получаем средний балл равен 55.

Ответ 55.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите скалярное произведение векторов \(a, b.\)

Решение: 

Скалярное произведение найдем с помощью координат этих векторов. По определению \(a*b=x_a*x_b+y_a*y_b.\)

Координаты векторов находим как разность координат конца и начала вектора \(a(-3, 0), b(5,5)\). Тогда имеем \(a*b=-3*5+0*5=-15.\)

Ответ -15.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  классе  учится  16  человек:  6  мальчиков  и  10  девочек.  Перед  началом  уроков  классный  руководитель  случайным  образом  выбирает  двух  учащихся  класса  для  дежурства  в  столовой.  Какова  вероятность,  что  дежурить  в  столовую  отправятся  мальчик с девочкой? 

Решение: 

Найдем вероятность в соответствии с классическим определением вероятности.

Всего исходов (вариантов выбора двух человек) будет число сочетаний из  16 по 2, то есть, \(C_{16}^2.\)

Благоприятные исходы - один мальчик и одна девочка, то есть, произведение числа сочетаний из 6 по 1 и числа сочетаний из 10 по 1 \(C_6^1*C_{10}^1.\)

Тогда искомая вероятность равна \(P={C_6^1*C_{10}^1\over C_{16}^2}=0.5.\)

Ответ 0.5.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В треугольнике  АВС  проведена  биссектриса ВК. Определите длину  отрезка АК,    если  известно,  что  АВ=7,5, ВС=6, СК=4. 

Решение: 

По свойству бисектриссы имеем (обозначим неизвестную длину отрезка за \(x\)): \({x\over 4}={7.5\over 6} \Rightarrow x=5.\)

Ответ 5

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

По  графику функции  у = f(x) определите количество  точек на интервале  (‐3; 4), в  которых касательная к графику параллельна прямой  у = 0,3х – 4 или совпадает с ней. 

Решение: 

Судя по графику функции таких точек 5 штук.

Ответ 5.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Радиус  основания  конуса  равен  5, а  косинус  угла  при  вершине Р  осевого сечения равен \({12\over 37}\). Найдите площадь  осевого сечения конуса. 

Решение: 

Площадь сечения - площадь треугольника, она равна половине произведени длины основания на длину высоты.

Осталось найти длину высоты.

Если угол при вершине конуса обозначить через \(\alpha,\) то \(cos\alpha={12\over 37}.\) Из прямоугольного треугольника имеем, что \(tg{\alpha\over 2}={5\over h} \Rightarrow h={5\over tg{\alpha\over 2}}.\)

\(tg{\alpha\over 2}={1+cos\alpha\over sin\alpha}={1+cos\alpha\over \sqrt{1-cos^2\alpha}}=7.\) Тогда высота равна 35, а искомая площадь так же 35.

Ответ 35.

 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(log_{4\over 25}(log_4{32}).\)

Решение: 

\(log_{4\over 25}(log_4{32})=log_{4\over 25}(log_{2^2}{2^5})=\\=log_{4\over 25} ({5\over 2})=-log_{({2\over 5})^2} {2\over 5}=-0.5.\)

Ответ -0.5.

Другие задачи темы: