Решения задач из варианта № 143 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Стоимость  полугодовой  подписки  на журнал  составляет  460  рублей,  а  стоимость   одного номера  журнала – 24 рубля. За полгода Нина купила 25 номеров журнала. На  сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал? 

Решение: 

Нина бы сэкономила \(24*25-460=140\) рублей.

Ответ 140.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Известно,  что  кинетическая  энергия  (измеряемая  в  джоулях)  движущегося  тела  вычисляется  по  формуле \(E={mv^2\over 2}\),  где \(m\) –  масса  тела  в  килограммах, \(v\) –  его  скорость в м/с.  Кинетическая  энергия  грузовика,  движущегося  со скоростью  60 км/ч,  равна 2,5 МДж. Найдите массу грузовика. Ответ дайте в тоннах. 

Решение: 

Подставим все известные в формулу и найдем массу грузовика. Не забудем перевести скорость в м/с.

\(2.5*10^6={m*60^2\over 2}*{1000\over 3600}^2 \Rightarrow m=2.5*3600=18000\) кг.

Ответ 18 т.

 

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из пункта A круговой трассы выехал  велосипедист, а через 30 минут следом за   ним  отправился  мотоциклист.  Через  10  минут  после  отправления  он  догнал   велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй  раз.  Найдите  скорость  мотоциклиста,  если  длина  трассы  равна  30  км.  Ответ  дайте  в  км/ч.

Решение: 

Пусть скорост велосипедиста равна \(x\) км/ч, а скорость мотоциклиста равна \(y\) км/ч.

Из первого условия составим первое уравнение (мотоциклист был в пути 10 минут и проехал то же расстояние, что и велосипедист за 40 минут): \(10y=40x \Rightarrow y=4x.\)

Второе уравнение составим из второго условия: \({40\over 60}y-{70\over 60}x=30 \Rightarrow {160x-70x\over 60}=30 \Rightarrow x=20.\)

Тогда скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Ответ 80.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение функции \(f(x)={x^2+9\over x}\) в точке максимума.

Решение: 

Находим производную функции, приравниваем ее нулю и находим критические точки, которые проверяем на экстремум. Далее среди точек экстремума выделяем точку максимума и определяем в ней значение функции.

\(f^\prime(x)={2x*x-x^2-9\over x^2}={x^2-9\over x^2} \Rightarrow f^\prime=0 \Rightarrow x=\pm3.\)

Имеем две критические точки. Среди них только точка \(x=-3\) - точка максимума (проверьте самостоятельно). Тогда искомое значение функции \(f(-3)=-6.\)

Ответ -6.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(log_{-cosx}(1-0.5sinx)=2.\)

а) решите уравнение

б) найдите его корни, принадлежащие отрезку \([14\pi; 16\pi].\)

Решение: 

\(log_{-cosx}(1-0.5sinx)=2 \Rightarrow 1-0.5sinx=cos^2x\Rightarrow 1-0.5sinx=1-sin^2x \Rightarrow \\ \Rightarrow sinx=0, sinx=0.5 \Rightarrow x=\pi n, x=(-1)^k{\pi \over 6}+\pi k, n,k-целые.\)

Если вспомнить ОДЗ, то получим, что первая серия корней не подходит, а из второй нам подходят только те, что лежат во второй четверти (косинус должен быть меньше или равен нуля), то имеем

Ответ

а) \(x=(-1)^k{\pi \over 6}+\pi k, k-целое.\)

б) \({89\pi\over 6}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  диаграмме  показана среднемесячная  температура воздуха в Симферополе за   каждый    месяц    1988  года.  По  горизонтали  указываются  месяцы,  по  вертикали  –  температура в градусах Цельсия. Определите по  диаграмме,  сколько было месяцев,  когда среднемесячная температура  не превышала 10 градусов Цельсия. 

Решение: 

Таких месяцев 7.

Ответ 7.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке клетка имеет размер \(\sqrt5\) см х \(\sqrt5\) см. Найдите  периметр четырехугольника. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение: 

Периметр равен (будем искать стороны как гипотенузы прямоугольных треугольников): \(P=2*(\sqrt{(2\sqrt5)^2+(4\sqrt5)^2}+\sqrt{(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2})=\\=2*(10+5)=30.\)

Ответ 30.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На тренировке баскетболист Майкл попадает 3‐очковый бросок с вероятностью  0,9, если  бросает мячом фирмы  «Nike».  Если  Майкл выполняет  3‐очковый бросок  мячом  фирмы  «Adidas»,  то  попадает  с  вероятностью  0,7.  В  корзине  лежат  10  тренировочных мячей: 6 фирмы «Nike» и 4 фирмы «Adidas». Майкл наудачу  берет из  корзины  первый  попавшийся  мяч  и  совершает  3‐очковый  бросок.  Найдите  вероятность того, что бросок Майкла будет точен. 

Решение: 

Вероятность равна \(P={6\over 10}*0.9+{4\over 10}*0.7=0.82.\)

Ответ 0.82.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(\sqrt{3-x}=1-x\). Если корней несколько, то в ответе  укажите больший из них. 

Решение: 

\(\sqrt{3-x}=1-x\Rightarrow 3-x=1-2x+x^2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x=2, x=-1.\)

Первый корень не подходит из-за ОДЗ.

Ответ -1.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Радиус  окружности,  описанной  около  правильного  шестиугольника,  равен \(\sqrt3\). Найдите радиус вписанной окружности. 

Решение: 

Радиус вписанной окружности в данном случае - это катет в прямоугольном треугольнике на рисунке. Тогда этот радиус равен \(r=\sqrt3 sin 60^o=1.5.\)

Ответ 1.5.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Функция \(y=f(x)\) определена на промежутке [‐4; 5].  На рисунке приведен график её  производной. Найдите количество точек экстремума функции \(f(x)\). 

Решение: 

Таких точек 4 штуки - производная меняет свой знак при переходе через точку экстремума и равна нулю в точке экстремума.

Ответ 4.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  цилиндрический  сосуд  положили  чугунную  деталь  и  налили  2000  см3  воды.  Уровень  жидкости  оказался  равным  21  см.  Когда  деталь  вынули  из  сосуда,  уровень  воды  понизился  на  11  см.  Чему  равен объем детали? Ответ выразите в см3

Решение: 

По условию \(V_1=S_{осн}*h_1=V+2000 \Rightarrow 21S=V+2000.\)

После того, как деталь вынули, получим \(V_2=S*h_2=2000 \Rightarrow S*10=2000 \Rightarrow 21*S=4200.\)

Тогда выразим из первого соотношения объем детали \(V=21*S-2000=2200.\)

Ответ 2200.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  значение выражения \(0.15+cos2\beta\), если известно, что \(cos\beta={\sqrt2 \over 4}.\)

Решение: 

Применим формулу косинуса двойного угла имеем \(0.15+cos2\beta=0.15+2cos^2\beta-1=0.15+2*0.5-1=-0.6.\)

Ответ -0.6.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?