Решения задач из варианта № 144 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Необходимо перевезти 50 скутеров весом 300 килограмм каждый. Сколько рейсов  понадобится сделать для этого, используя машину грузоподъемностью 5 тонн? 

Решение: 

В одну машину помещяется \(5:0.3=16\) скутеров. Тогда нужно сделать 4 рейса для перевозки 50 скутеров.

Ответ 4.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Потенциальная  энергия  тела,  находящегося  на  высоте  h  метров  над  землей,  вычисляется  по формуле \(E_p=mgh\),  где т – масса  тела  в  килограммах,  а  g =  9,8  Н/кг  –  ускорение  свободного  падения.  Вовочка  стоит  на  балконе  7‐го  этажа,  расположенного на высоте 20 метров над землей и обладает потенциальной энергией  11,76 кДж. Какова масса Вовочки? Ответ дайте в килограммах. 

Решение: 

Подставим все известные в формулу для потенциальной энергии и найдем искомую массу Вовочки: \(11760=9.8*20*m \Rightarrow m=60.\)

Ответ 60.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Первые 4 дня на строительстве объекта трудились 13 рабочих, после чего к ним  присоединились  еще  трое,  а  спустя  3  дня  шестеро  рабочих  были  переведены  на  другой объект. За какой срок будет построен данный объект, если шесть рабочих могут  выполнить это задание за 20 дней? 

Решение: 

Производительность одного рабочего равна \({6\over 20}={1\over 120}\).

Тогда исходя из условия задачи составим уравнение для поиска неизвестного времени  работы (обозначим за \(x\)) оставшихся 10-ти рабочих: \(4*13*{1\over 120}+3*16*{1\over 120}+x*10*{1\over 120}=1 \Rightarrow x=2.\)

Тогда искомое число дней равно \(4+3+2=9.\)

Ответ 9.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку минимума функции \(f(x)=2\sqrt[3]{x^2}-{\sqrt [3]{x^4}\over 4}.\)

Решение: 

\(f(x)=2\sqrt[3]{x^2}-{\sqrt [3]{x^4}\over 4}=2x^{2\over 3}-0.25x^{4\over 3}.\)

Найдем производную функции, приравняем ее нулю, найдем критические точки. Определим какие из них, являются экстремумами и выберем среди них точку минимума.

К критическим точкам также относятся точки разрыва производной, если они попадают в область пределения функции. Экстремум - точка, в которой производная равна нулю и при переходе через нее меняет свой знак.

\(f^\prime(x)=2*({2\over 3})x^{-{1\over 3}}-{1\over 4}*{4\over 3}*x^{1\over 3}=0 \Rightarrow {4\over \sqrt [3]x}-\sqrt[3]x=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^{2\over 3}=4 \Rightarrow x=\pm8.\)

Еще одна критическая точка \(x =0,\) так как призводная в ней не существует, но эта точка входит в область определения функции.

Далее определяем промежутки возрастания и убывания функции (сделайте самостоятельно). Таким образом, точка \(x = 0\) - точка минимума функции.

Ответ 0. 

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \((cos2x-1)^2=10sin^2x-4.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-{3\pi \over 2}; -{\pi \over 6}].\)

Решение: 

Применим формулу косинуса двойного угла, тогда \((1-2sin^2x-1)^2=10sin^2x-4 \Rightarrow 2sin^4x-5sin^2x+2.\)

Выполним замену \(y=sin^2x: 2y^2-5y+2=0 \Rightarrow y=2, y=0.5.\)

Первый корень не подходит ввиду того, что \(|sinx|<=1.\) Тогда имеем \(sinx=\pm{\sqrt2 \over 2}.\)

Отсюда находим \(x=(-1)^n{\pi \over 4}+\pi n, x=(-1)^{k+1}{\pi \over 4}+\pi k.\)

Если эти серии корней объединить в одну, то получим ответ а) \(x={\pi \over 4}+{\pi n\over 2}, n - \) целое.

Если отметить корни на единичной окружности, то в искомый отрезок попадают только три из них:

б) \(-{5\pi \over 4}, -{3\pi \over 4}, -{\pi \over 4}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В правильной треугольной пирамиде РABC  (Р – вершина) точка К – середина АВ,  точка М – середина ВС, точка N лежит на ребре АР, причем АN:NP=1:3. 

А) Докажите,  что  сечением  пирамиды  плоскостью,  проходящей  через  точки N, K, M,  является равнобедренная трапеция. 

Б) Найдите угол между плоскостями  NKM и АВС, если известно, что АВ=6, АР=8.

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(log_2(5-x)*log_2(x+1)<=log_2{(x^2-4x-5)^2 \over 16}.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Две  окружности  касаются  внутренним  образом  в  точке  А  так,  что  меньшая  окружность  проходит  через  центр  большей.  Хорда  ВС  большей  окружности  касается  меньшей  в  точке  К. Прямые  АВ  и  АС  вторично  пересекают  меньшую  окружность  в  точках Р и М соответственно. 

А) Докажите, что  РМ || ВС.

Б) Найдите  площадь  треугольника  АВС,  если  РМ=12,  а  радиус  большей  окружности  равен 20.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  мебельный  магазин  поступили  столы  и  стулья.  Количество  столов  составляет  42%  от  числа  стульев.  Когда  было  продано  78%  столов  и  62%  стульев,  то  столов  осталось  менее  300  штук,  а  стульев  –  более  200.  Сколько  столов  и  сколько  стульев  поступило в магазин?

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  все  значения  а,  при  каждом  из  которых  множество  решений  неравенства \(|x-a|+|x+3a|>=x^2+a^2\) содержит ровно четыре целых значения  x.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexalrin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

А) Решите в целых числах уравнение  19x + 97y = 4.

Б) Решите в целых числах уравнение  19x + 97y + xy = 4.

В) Решите в натуральных числах уравнение 19x + 97y = 4xy

Решение: 

Решение во вложении (пункт в).

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

1 сентября 2013 года кондитерская фабрика выпустила в продажу два новых сорта  конфет – Люкс и Шарм. На графиках показано, как эти конфеты продавались в течение  первого  года.  (По  горизонтальной  оси  откладывается  время,  прошедшее  с  начала  продаж, в месяцах; по вертикальной – количество проданных за это время конфет, в  тыс.  тонн.)  Сколько месяцев  в  течение  первого  года  продавалось равное  количество  конфет каждого из этих сортов? 

Решение: 

На рисунке видно, что в течение 2 месяцев (с 4 по 6) продавалось равное количество конфет каждого сорта.

Ответ 2.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Площадь  маленького  круга  равна  4.  Найдите  площадь  закрашенной фигуры.

Решение: 

Площадь малого круга \(S_1=\pi r_1^2=4.\)

Соотношение радиусов малого и большого кругов: \(r_2=2r_1.\)

Площадь большого круга \(S_2=\pi r^2_2=\pi 4r^2_1=16.\) Тогда искомая площадь \(S={7\over 8}(S_2-S_1)=10.5.\)

Ответ 10.5.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  лыжной  гонке  участвует  50  школьников.  Перед  началом  соревнований  проводится жеребьевка,  где  каждый  участник  получает  стартовый  номер  от  1  до  50.  Какова  вероятность,  что  Петя  Иванов,  стартующий  в  этой  гонке,  получит  номер,  содержащий в своей записи цифру 4?

Решение: 

Подсчитаем, сколько всего чисел от 1 до 50 соедржат в своей записи цифру 4: 4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49. То есть, всего 14 штук.

Тогда искомая вероятность по определению равна \(P={14\over 50}=0.28.\)

Ответ 0.28. 

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(log_2x+log_x2=-2.\)

Решение: 

\(log_2x+log_x2=-2 \Rightarrow log_2x+{1\over log_2x}=-2 \Rightarrow \\ \Rightarrow log_2^2x+2log_2x+1=0 \Rightarrow (log_2x+1)^2=1 \Rightarrow \\ \Rightarrow log_2x=-1 \Rightarrow x=0.5.\)

Ответ 0.5.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В прямоугольном треугольнике  АВС  угол С – прямой. СН – высота.  АН=5, ВН=4. Найдите катет СВ. 

Решение: 

Из подобия треугольников \(ABC\) и \(CBH\)  имеем \({CB\over AB}={HB\over CB} \Rightarrow CB^2=HB*AB=36 \Rightarrow CB=6.\)

Ответ 6.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  фигуры,  ограниченной  графиками  функций \(f(x)=3x^2, g(x)=3\sqrt x\).

 

Решение: 

Площадь будет равна определенному интегралу от разности этих функций. Но сначала найдем точки их пересечения и определим то, какая функция находит выше, чем другая на графике. Сделайте это сами.

Запишем определенный интеграл, дающим нам искомую площадь: \(S=\int^1_0(3\sqrt x-3x^2)dx=(2x\sqrt x-x^3)|_0^1=1.\)

Ответ 1.

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В шар с радиусом \(2\sqrt3\) вписан куб. Найдите сумму длин всех  ребер куба.  

Решение: 

Радиус шара равен половине диагонали куба, тогда из теоремы Пифагора имеем \(d=2r=4\sqrt3=a^2+2a^2 \Rightarrow a=4.\) Здесь \(a\) - сторона куба.

Тогда сумма длин всех ребер куба равна 48.

Ответ 48.

 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вычислите \(cosa\alpha\), если известно, что \(tg^2\alpha=1.5.\)

Решение: 

\(tg^2\alpha={1-cos2\alpha\over 1+cos2\alpha} \Rightarrow 1.5(1+cos2\alpha)=1-cos2\alpha \Rightarrow cos2\alpha=-0.2.\)

Ответ -0.2.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?