Решения задач из варианта № 145 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При оплате услуг мобильной связи через платежный терминал взимается комиссия  12%.  Терминал  принимает  суммы  кратные  10  рублям.  Какую  минимальную  сумму  нужно  положить  в  данном  терминале,  чтобы  на  счёт  мобильного  телефона  было  зачислено не менее 250 рублей? 

Решение: 

Если положить на счет 280 рублей, то после вычета комиссии итоговая сумма будет меньше 250 рублей. А если положить 290 рублей, то после комиссии сумма станет 255 рублей 20 копеек.

Ответ 290.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Емкость  высоковольтного  конденсатора  в  телевизоре \(C=3*10^{-6}\) Ф.  Параллельно  с  конденсатором подключен резистор с сопротивлением \(R=3*10^6\) Ом. Во время работы  телевизора  напряжение  на  конденсаторе \(U_0=36\) кВ.  После  выключения  телевизора  напряжение  на  конденсаторе  убывает  до  значения \(U\) (кВ)  за  время,  определяемое  выражением \(t=\alpha*R*C*log_2 {U_0\over U}\) (с),  где  α  =  0,9  –  постоянная.  Определите  наибольшее  возможное  напряжение  на  конденсаторе,  если  после  выключения  телевизора прошло не менее  16,2 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах). 

Решение: 

Подставим все известные величины в выражение и найдем неизвестное напряжение.

\(16.2=0.9*3*10^6*3*10^{-6}log_2{36\over U} \Rightarrow \\ \Rightarrow log_2{36\over U}=2 \Rightarrow U=9.\)

Ответ 9.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Первый  рабочий  за  час  делает  на  5  деталей  больше,  чем  второй  рабочий,  и  заканчивает  работу  над  заказом,  состоящим  из  570  деталей,  на  5  часов  позже,  чем  второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 350 таких же деталей. Сколько деталей  делает в час первый рабочий, если известно, что вдвоем за час они изготавливают их  не более 50?

Решение: 

Пусть производительность первого равна \(x\) деталей в час, а второго тогда будет \(x-5\) деталей в час.

Составим уравнение из первого условия \({570\over x}-5={350\over x-5}.\)

Решив уравнение, находим два корня, один из которых нам подходит исходя из второго условия задачи. Это корень 19.

Ответ 19.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(f(x)={14-5x\over x-2}\) на отрезке \([-3; 1].\)

Решение: 

Сначала найдем производную функции, приравняем ее нулю и определим критические точки. Затем вычислим значения функции в критических точках и в концах отрезка. Выберем среди них наименьшее значение.

\(f^\prime(x)=-{4\over (x-2)^2}.\)

Критических точек нет. Тогда \(f(-3)=-29/5, f(1)=-9.\)

Наименьшее значение -9.

Ответ -9.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(3tg^2x+{6-2\sqrt2 \over cosx}+3-4\sqrt2=0.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([{3\pi \over 4}; {5\pi \over 2}].\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной  треугольной  пирамиде  PABC   к  основанию  АВС  проведена  высота РО. Точка К – середина СО.  

А)  Докажите,  что  плоскость,  проходящая  через  точки  А,  Р  и  К  делит  ребро  ВС  в  отношении 1:4. 

Б)  Найдите  объем  большей  части  пирамиды PABC ,  на  которые  ее  делит  плоскость  АРК, если известно, что \(AB=2\sqrt3\), \(PC=2\sqrt5.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(log_2^2x-{10\over xlog_x2}+{16\over x^2}<=0.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дана  окружность  с  диаметром  АВ.  Вторая  окружность  с  центром  в  точке  А пересекает первую окружность в точках С и D, а диаметр АВ в точке Е. На дуге СЕ, не  содержащей  точки  D,  взята  точка  М,  отличная  от  точек  С  и  Е.  Луч  ВМ  пересекает  первую окружность в точке N, а вторую в точке М1.  

А) Докажите, что точка N – середина отрезка ММ1.  

Б) Найдите длину отрезка МN, если известно, что CN=6, DN=13,5. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Алексей  взял  в  банке  кредит  10  млн.  рублей  под  10%  годовых.  По  договору  Алексей  возвращал  кредит  ежегодными  платежами.  В  конце  каждого  года  к  оставшейся сумме долга добавлялось 10% этой суммы и своим ежегодным платежом  Алексей  погашал  эти  добавленные  проценты  и  уменьшал  сумму  долга.  Ежегодные  платежи подбирались так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый  год  (на  практике  такая  схема  называется  «схемой  с  дифференцированными  платежами»). Известно, что  общая  сумма, выплаченная Алексеем  банку  за весь  срок  кредитования,  оказалась  15  млн.  рублей.  Определите,  на  сколько  лет  Алексей  брал  кредит в банке. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  все  а,  при  каждом  из  которых  функция \(f(x)={16ax^3\over (x^2+1)^3}-{12x^2\over (x^2+1)^2}-{12(a+1)x\over x^2+1}\) будет убывающей на всей области  определения.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Также решение можно узнать здесь http://www.egetrener.ru/view_post.php?id=453

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике  показан  процесс  разогрева  двигателя  легкового  автомобиля  при  температуре  окружающего  воздуха  5°С.  На  оси  абсцисс  откладывается  время  в  минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в  градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается  вентилятор,  охлаждающий  двигатель,  и  температура  начинает  понижаться.  Определите  по  графику,  сколько минут  прошло  с  момента  запуска  двигателя  до  включения  вентилятора? 

Решение: 

С момента запуска двигателя до выключения вентилятора прошло 9 минут.

Ответ 9.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите длину отрезка АВ.   Ответ дайте в сантиметрах. 

Решение: 

Из подобия треугольников ABC и  LKC имеем, что \(AB=9.\)

Или можно решить задачу иначе. Рассмотрите прямоугольные треугольники, в которых часть (половина плюс одна клетка) искомого отрезка является средней линией.

Ответ 9.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

У Вити в кармане лежат 10 купюр: три 100‐рублевых, шесть 50‐рублевых и одна 10‐ рублевая. Витя сел в трамвай, проезд в котором стоит 20 рублей. Чтобы купить билет у  кондуктора, Витя наугад достал из кармана одну купюру. Какова вероятность, что Витя  сможет ею рассчитаться за проезд в трамвае? 

Решение: 

Витя сможет расплатиться любой из 9 купюр, которые у него есть. Это либо 100-рублевые, либо 50-рублевые.  Тогда искомая вероятность равна \(P={9\over 10}=0.9.\)

Ответ 0.9.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уранвения \((\sqrt{11})^{2x+9.8}=121.\)

Решение: 

\((\sqrt{11})^{2x+9.8}=121 \Rightarrow 11^{x+4,9}=11^2 \Rightarrow x+4,9=2 \Rightarrow x=-2,9.\)

Ответ -2.9.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Найдите угол  между  радиусами  ОА  и  ОС,  если  известно,  что угол АВС=100 градусов 30 минут. Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

Центральный угол - угол, образованный радиуса окружности. Он равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол ABC равен половине градусной мере дуги, на которую он опирается. Тогда градусная мера этой дуги равна 210 градусов.

Тогда угол, образованный радиусами OC, OA равен \(360-201=159^o.\)

Ответ 159.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Прямая \(y=kx-6\) является  касательной  к  гиперболе \(f(x)={1\over x}\). Найдите  угловой  коэффициент  k  этой прямой. 

Решение: 

В точке касания должно выполняться \(kx_0-6={1\over x_0}.\)

Из геометрического смысла производной функции имеем: \(k=f^\prime(x_0) .\)

Тогда получаем уравнение для нахождения абсциссы точки касания, которая затем даст нам угловой коэффициент касательной. 

\(-{1\over x_0^2}*x_0-6={1\over x_0} \Rightarrow x_0=-{1\over 3} \Rightarrow k=-{1\over x_0^2}=-9.\)

Ответ -9.

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  боковой  поверхности  правильной  треугольной  призмы,  вписанной  в  цилиндр,  радиус  основания  которого равен \(2\sqrt3\), а образующая равна 5. 

Решение: 

Радиус окружности, описанной около основания призмы, равен \({2\over 3}\) высоты (медианы) треугольника, лежащего в основании призмы.

Тогда по теореме Пифагора \(R={2\over 3}h={2\over 3}\sqrt{a^2-{a^2\over 4}}={2\over 3}{a\sqrt3\over 2}=a{\sqrt3\over 3}.\)

Тогда найдем сторону треугольника \(a=R\sqrt3.\)

Тогда площадь боковой поверхности призмы равна \(S=3*a*H=90.\)

Ответ 90.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вычислите \({9sin92^o\over 2cos46^o*cos136^o}.\)

Решение: 

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и формулой приведения, получим \({9sin92^o\over 2cos46^o*cos136^o}={18sin46^o*cos46^o\over 2cos46^o*(-sin46^o)}=-9.\)

Ответ -9.

Другие задачи темы: