Решения задач из варианта № 146 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по  2,5  кг.  Какое  наименьшее  количество  банок  краски  нужно  купить  для  покраски  потолка площадью 50 кв. м?

Решение: 

Потребуется \({50*0.24\over 2.5}=5\) банок краски.

Ответ 5.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  боковой  стенке высокого  цилиндрического  бака у  самого дна  закреплён кран.  После его  открытия вода  начинает вытекать  из  бака,  при  этом высота  столба воды в  нём,  выраженная  в  метрах,  меняется  по  закону \(H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+{g\over 2}k^2t^2\), где  t - время  (в  секундах),  прошедшее  с  момента открытия крана, \(H_0=20\) - начальная высота столба воды, \(k=1/400\) - отношение  площадей  поперечных  сечений  крана  и  бака, \(g-\) ускорение  свободного  падения  (считайте  g=10  м/с2).  Через  сколько  секунд  после  открытия  крана  в  баке  останется четверть первоначального объёма?

Решение: 

Подставим все известные в формулу и найдем искомое время.

\(5=20-\sqrt{2*10*20}{t\over 400}+{10\over 2}*{1\over 400^2}*{1\over t^2} \Rightarrow {5t^2\over 400^2}-{1\over 20}t+15=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow t^2-4*400*t+4*300*400=0.\)

Решая полученное квадратное уравнение, находим искомое время \(t=400.\)

Ответ 400.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из  города  A  в  город  B  выехал  грузовик,  а  через  час  следом  за  ним  выехал  легковой  автомобиль.  Через  два  часа  после  выезда  легковой  автомобиль  догнал  грузовик и приехал в пункт B на 3 часа раньше, чем грузовик. Сколько часов потратил  на дорогу от A до B грузовик? 

Решение: 

Обозначим скорость автомобиля через \(x,\) а скорость грузовика через \(y.\)

Первое уравнение составим из первого условия \(3y=2x \Rightarrow x=1.5y.\)

Второе уравнение составим из второго условия и решим его относительно скорости грузовика. Длину расстояния от А до В обозначим за единицу, тогда \({1\over y}=4+{1\over x}.\)

Отсюд находим, что \(y=1/12 \Rightarrow {1\over y}=12.\)

Ответ 12.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(e^{2x}-6e^x+3 \) на отрезке \([1; 2].\)

Решение: 

Сделаем замену \(t=e^x \Rightarrow f(t)=t^2-6t+3; \\
f^\prime(t)=2t-6 \Rightarrow f^\prime=0 \Rightarrow t=3.\)

Отрезок также преобразуется в \([e; e^2].\) Причем найденная критическая точка входит в этот отрезок. 

Найденная критическая точка - точка минимума (проверьте сами), тогда наименьшее значение функции будет при \(t=3.\)

 Оно равно -6.

Ответ -6.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \({1+\sqrt3\over 2}sin2x=(\sqrt3-1)cos^2x+1.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([{{3\pi \over 2}; 3\pi]}.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Треугольная  призма \(ABCA_1B_1C_1\) с  нижним  основанием  ABC   и  боковыми  ребрами \(AA_1, BB_1, CC_1\) рассечена  плоскостью,  проходящей  через  точки  E, F,C ,  где точка  Е  является серединой ребра  \(AA_1\), точка  F  лежит на ребре  \(BB_1\), причем  \(BF:FB_1=1:2\). 

А)  Докажите,  что  объем  части  призмы  \(ABCA_1B_1C_1\),  заключенный  между  секущей  плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет \({5\over 18}\) объема призмы. 

Б)  Найдите  угол  между  нижним  основанием  призмы  и  плоскостью  сечения,  если  призма  \(ABCA_1B_1C_1\)  ‐ правильная и все ее ребра равны между собой. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \({1\over 2}log_{x-1}(x^2-8x+16)+log_{4-x}(-x^2+5x-4)>=3.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Прямая,  параллельная  гипотенузе  АВ  прямоугольного  треугольника  АВС,  пересекает катет АС в точке D, катет ВС – в точке Е, причем DE=2 и BE = 1. На гипотенузе  взята точка F так, что BF=1, а величина угла FCB равна 30 градусов. 

А) Докажите, что треугольник BFE  равносторонний.

Б) Найдите площадь треугольника АВС.

Решение: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Колхоз  арендовал  два  экскаватора.  Аренда  первого  экскаватора  стоит  60  руб  в  день,  производительность  его  в  мягком  грунте  составляет  250  м3  в  день,  в  твердом  грунте  –  150  м3  в  день.  Аренда  второго  экскаватора  стоит  50  руб  в  день,  его  производительность в мягком грунте 480 м3 в день, а в твердом – 100 м3 в день.  Первый  проработал несколько полных дней и вырыл 720 м3. Второй за несколько полных дней  вырыл  330  м3.  Сколько  дней  работал  каждый  экскаватор,  если  колхоз  заплатил  за  аренду не более 300 руб. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - Alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При каких значениях параметра a система уравнений имеет ровно два решения?

Решение: 
Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся  чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если

а)  k = 9;

б)  k = 8?

Решение: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке жирными точками показан курс австрийского шиллинга, установленный  Центробанком  РФ,  во  все  рабочие  дни  с  1  по  30  января  1999  года.  По  горизонтали  указываются числа месяца, по вертикали — цена шиллинга в рублях. Для наглядности  жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какой был курс  шиллинга 15 января. Ответ дайте в рублях. 

Решение: 

Курс был 1.82.

Ответ 1.82.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  клетчатой  бумаге  с  размером  клетки  1х1  изображён  угол. Найдите тангенс этого угла. 

Решение: 

\(tgAOB=tg(180^o-(AOK+BOM))=-tg(AOK+BOM)=\\=-{tgAOK+tgBOM\over 1-tgAOK*tgBOM}=-{1/2+1/3\over 1-1/6}=-1.\)

 

Здесь воспользовались формулой приведения и формулой тангенса суммы двух углов.

Ответ -1.

Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова  вероятность того, что оно делится на 3? 

Решение: 

Всего чисел 10 штук.

Среди них делятся на три только: 12, 15, 18.

Тогда искомая вероятность равна P=3/10=0.3.

Ответ 0.3.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(log_5 25^{2x+7}=8.\)

Решение: 

\(log_5 25^{2x+7}=8 \Rightarrow log_5 5^{4x+14}=8 \Rightarrow 4x+14=8 \Rightarrow x=-1.5.\)

Ответ -1.5.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Угол ACO равен 24 градусов. Его сторона CA касается окружности с центром в точке  O.  Сторона  CO  пересекает  окружность  в  точках  B  и  D  (см.  рис.).  Найдите  градусную  меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

\({<}AOC=90^o-24^o=66^o.\)

\({<}DOC- \)развернутый, тогда \({<}DOA=180^o-66^o=114^o.\)

Тогда и градусная мера искомой дуги равна \(114^o,\) так как на нее опирается центральный угол \({<}DOA=114^o.\)

Ответ 114.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  изображен  график  функции \(y=f(x)\).  Прямая,  проходящая  через  точку (‐6;‐1), касается этого графика в точке с абсциссой 6. Найдите \(f^\prime(6)\).

Решение: 

Производная функции в точке - угловой коэффициент наклона касательной к графику функции в этой точке. Тогда нам надо составить уравнение касательной, проходящей через две точки (точку (‐6;‐1) и точку касания (6; 2)) и найти ее угловой коэффициент.

Уравнение касательной имеет вид \({x+6\over 6+6}={y+1\over 2+1 }\Rightarrow 3(x+6)=12y+12 \Rightarrow y=0.25x-10.5.\)

Угловой коэффициент равен 0.25.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной  треугольной  призме \(ABCA_1B_1C_1\) известно,  что \(AB=\sqrt3 AA_1\).  Найдите угол между прямыми  \(AB_1\)  и \(CC_1\). Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Прямые  \(AB_1\)  и \(CC_1\) - скрещивающиеся.

Спроецируем \(CC_1\) на плоскость грани\(ABA_1B_1.\) Тогда искомый угол легко найти. Его тангенс вычисляется из треугольника \(OHB_1.\)

 \(tg\alpha={HB_1\over OH}={0.5AB\over 0.5AA_1}=\sqrt3.\)

Тогда искомый угол равен 60 градусам.

Ответ 60.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({b^2\sqrt [6]b\over \sqrt[10]b*\sqrt[15]b}\) при \(b=6.\)

Решение: 

 

Упростим выражение и найдем его значение

\({b^2\sqrt [6]b\over \sqrt[10]b*\sqrt[15]b}={b^{13\over 6}\over b^{3+2\over 30}}=b^{{13\over 6}-{1\over 6}}=b^2=36.\)

Ответ 36.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?