Решения задач из варианта № 147 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Установка  двух  счётчиков  воды  (холодной  и  горячей)  стоит  3300  рублей.  До  установки  счётчиков  за  воду  платили  800  рублей  ежемесячно.  После  установки  счётчиков  ежемесячная  оплата  воды  стала  составлять  300  рублей.  Через  какое  наименьшее  количество  месяцев  экономия  по  оплате  воды  превысит  затраты  на  установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся? 

Решение: 

Ежемесячная экономия после установки счетчиков составляет 500 руб. Тогда через 7 месяцев экономия по оплате воды превысит стоимость установки счетчиков.

Ответ 7.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)=m_0*2^{-{t\over T}}\), где \(m_0\) - начальная масса изотопа, t—время, прошедшее от начала  распада, \(T -\) период полураспада в минутах. В лаборатории получили газ, содержащий \(m_0=40\) мг  изотопа  азота‐13,  период  полураспада  которого \(T=10\) мин.  В  течение  скольких минут масса изотопа азота‐13 будет не меньше 5 мг? 

Решение: 

Подставим все известные величины в формулу и найдем неизвестное время: 

\(5=40*2^{-{t\over T}} \Rightarrow 2^{-3}=2^{-{t\over T}} \Rightarrow -t/T=-3 \Rightarrow t=30.\)

Ответ 30.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из  точки  A  круговой  трассы  одновременно  начинают  равномерное  движение  в  противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит  на  100  метров  больше,  чем  второе,  и  возвращается  в  точку  A  через  9  минут  после  встречи.  Найдите  длину  трассы  в  метрах,  если  второе  тело  возвращается  в  точку  A  через 16 минут после встречи. 

Решение: 

Пусть второе тело проходит до встречи \(x\) км, тогда первое проходит \(x+100\) км. После встречи первое за 9 минут пройдет \(x\) метров со скоростью \(v_1=x/9\), а второе за 16 минут пройдет \(x+100\) метров со скоростью \(v_2=(x+100)/16\).

До встречи время первого \((x+100)/v_1=9(x+100)/x,\) время второго до встречи \(x/v_2=16x/(x+100)\).

Приравняем  \(9(x+100)/x=16x/(x+100)\)

Отюсда имеем \(x = 300.\)

Весь путь равен \(x+x+100=700.\)

Ответ 700.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку максимума функции \(y=(2x-3)cosx-2sinx+5,\) принадлежащую промежутку \((0; {\pi \over 2}).\)

Решение: 

Найдем производную функции, приравняем нулю, определим критические точки, проверим точки, принадлежащие отрезку \((0; {\pi \over 2})\) на экстремум.

\(y^\prime=2cosx-2cosx-(2x-3)sinx \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=1.5, x=\pi n.\)

Только точка \(x = 1.5\) принадлежит отрезку \((0; {\pi \over 2}).\)

Проверьте, на самом ли деле это точка максимума (производная должна менять свой знак с + на - при переходе черех эту точку).

Ответ 1.5.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(sin2x=1+\sqrt2cosx+cos2x.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([0; \pi].\)

Решение: 

Используем формулы синуса и косинуса двойного угла: \(2sinxcosx=1+\sqrt2cosx+2cos^2x=1 \Rightarrow cosx(2cosx+\sqrt2-2sinx)=0 \\ cosx=0, sinx-cosx={\sqrt2\over 2} \Rightarrow x={\pi\over2}+\pi n, sin(x-{\pi\over 4})=0.5.\)

Далее имеем три серии корней

а) \(x={\pi\over2}+\pi, x={5\pi\over 12}+2\pi n, x={13\pi\over 12}+2\pi n.\)

Из них только два входят в отрезок:

б) \({\pi\over 2}, {5\pi \over 12}.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  ребрах \(AA_1, CC_1, C_1D_1\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) расположены  точки \(M, N, P\) так, что  \(AM:AA_1=C_1N:C_1C=C_1P:C_1D_1=4:5\)

А) Постройте точку  H  пересечения плоскости  MNP с прямой  BC

Б) Найдите отношение  BH : BC

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(\sqrt{7-log_2 x^2}+log_2x^4>4.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС соответственно в точках D  и Е, точки A,D,E,C лежат на одной окружности.  А) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный  Б) Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из точки А, если стороны АВ и  АС равны соответственно 5 и 2. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки  12‐квартирного дома необходимо 70 деталей первого и 100 деталей второго типа. Для  16‐квартирного дома требуется 110 и 150, а для дома на 21 квартиру нужно 150 и 200  деталей первого и второго видов соответственно. Всего имеется 900 деталей первого и  1300  деталей  второго  вида.  Сколько  и  каких  домов  нужно  собрать,  чтобы  общее  количество квартир в них было наибольшим? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник  - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения параметра b, при которых имеет нечетное число решений. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Рисунок: 
Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  выражении    10  :  9  :  8  :  7  :  6  :  5  :  4  :  3  :  2  :  1    расставили  скобки  так,  что  в  результате вычислений получилось целое число. Каким   а) наибольшим;  б) наименьшим может быть это число? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых  торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа  месяца, по вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные  точки  на  рисунке  соединены  линией.  Определите  по  рисунку,  какого  числа  цена  никеля на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период. 

Решение: 

Наименьшая цена была 18 мая.

Ответ 18.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  клетчатой  бумаге  с  размером  клетки  1х1  изображён  равнобедренный  прямоугольный  треугольник.  Найдите  длину  его  медианы, проведённой к гипотенузе. 

Решение: 

Тангенс угла при основании равен \(tg\alpha=4/4=1.\)

Тогда медиана равна \(m=tg\alpha*{a\over 2}=1*4.5=4.5.\) Основание треугольника обозначили через \(a.\)

P.S. Задачу можно решить проще, используя свойство медианы в прямоугольном треугольнике, проведённой из вершины прямого угла: она равна половине гипотенузы. Спасибо нашим читателям.

Ответ 4.5.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 55% яиц из первого  хозяйства  —  яйца  высшей  категории,  а  из  второго  хозяйства  —  35%  яиц  высшей  категории. Всего высшую категорию получает 45% яиц. Найдите вероятность того, что  яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. 

Решение: 

Обозначим искомую вероятность через \(x\). Тогда вероятность того, что яйцо будет из второго хозяйства, равна \((1-x)\). Составим уравнение из условия задачи: \(0.45=0.55*x+0.35*(1-x) \Rightarrow x=0.5.\)

Ответ 0.5.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \({1\over 4x+9}={1\over6x+12}.\)

Решение: 

\({1\over 4x+9}={1\over6x+12} \Rightarrow 6x+12=4x+9 \Rightarrow x=-1.5.\)

Корень в ОДЗ входит, знаменатели в нуль не обращаются.

Ответ -1.5.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  угол  ACB,  если  вписанные  углы  ADB  и  DAE  опираются  на  дуги  окружности,  градусные  меры которых  равны  соответственно  118  градусов  и 38 градусов. Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

По свойству вписанного в окружность угла имеем:

\({<}BDA=0.5*118^o=59^o, \\{<}DAE=0.5*38^o=19^o.\)

Далее  \({<}CDA=180^o-59^o=121^o,\\{<}ACB=180^o-121^o-19^o=40^o.\)

Ответ 40.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке изображен график функции  y = f (x).  Найдите наименьшее значение  функции на отрезке [1;9] 

Решение: 

Наименьшее значение функции равно -4. Это показано на рисунке.

Ответ -4.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной  четырёхугольной  пирамиде  SABCD  с  основанием  ABCD  боковое  ребро SA равно 5, сторона основания равна \(3\sqrt2\). Найдите объём пирамиды. 

Решение: 

\(V={1\over 3}S_{ABCD}H=1/3*(3\sqrt2)^2H=6H.\)

По теореме Пифагора: \(H=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{SA^2-({0.5*\sqrt{(3\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2}})^2}=4.\)

Тогда имеем \(V=24.\)

Ответ 24.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?