Решения задач из варианта № 148 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  автозаправке  клиент  отдал  кассиру  1000  рублей  и  попросил  залить  бензин  до  полного  бака.  Цена  бензина  31  руб.  20  коп.  за  литр.  Клиент  получил  1  руб.  60  коп.  сдачи. Сколько литров бензина было залито в бак? 

Решение: 

Клиент залил \({1000-1.6\over 31.2}=32\) литра бензина.

Ответ 32.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Плоский  замкнутый  контур  площадью  S  =  0,5  м2  находится  в  магнитном  поле,  индукция  которого  равномерно  возрастает.  При  этом  согласно  закону  электромагнитной  индукции  Фарадея  в  контуре  появляется  ЭДС  индукции,  значение  которой,  выраженное  в  вольтах,  определяется  формулой \(\epsilon_i=a*S*cos\alpha\),  где \(\alpha\) острый  угол  между  направлением  магнитного  поля  и  перпендикуляром  к  контуру, \(a=4*10^{-4}\) Тл/с  —  постоянная, \(S -\) площадь  замкнутого  контура,  находящегося  в  магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле a  (в градусах) ЭДС индукции не  будет превышать \(10^{-4}\) В? 

Решение: 

Подставим все известные в формулу и найдем неизвестный угол: \(10^{-4}=4*10^{-4}*0.5*cos\alpha \Rightarrow cos\alpha=0.5 \Rightarrow\alpha=60^o.\)

Ответ 60.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная  стрелка в пятый раз поравняется с часовой? 

Решение: 

В первый раз стрелки поравняются в 7 часов (от 35 до 40 минут), во второй раз в 8 часов (между 40 и 45 минутами), в третий раз в 9 часов (между 45 и 50 минутами), в четвертый раз в 10 часов (между 50 и 55 минутами) и в пятый раз - ровно в 12-00.

Таким образом, имеем, чтов  пятый раз стрелки поравняются через \(5*60+25=325\) минут.

Ответ 325.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку минимума функции \(y=4x-4ln(x+7)+6.\)

Решение: 

Находим производную, приравниваем нулю и определяем критические точки, которые затем проверяем на экстремум и находим среди них точку минимума (производная должна менять знак с отрицательного на положительный).

\(y^\prime=4-{4\over x+7} \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=-6.\)

Проверьте самостоятельно, что точка \(x =-6\) является точкой минимума.

Ответ -6.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(\sqrt{1-cos2x}=sin2x\). 

а) решите уравнение

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-{3\pi \over 2}; 0].\)

Решение: 

ОДЗ: \(sin2x>=0 \Rightarrow x\ \in[\pi n; {\pi \over 2}+\pi n].\)

Возводим уравнение в квадрат, применяем формулы косинуса и синуса двойного угла, получаем: \(1-1+2sin^2x=4sin^2xcos^2x \Rightarrow sin^2x=0, cos^2x=0.5 \Rightarrow x=\pi n, x={\pi \over 4}+\pi n.\)

Ответ

а) \(x=\pi n, x={\pi \over 4}+\pi n\)

б) \({-\pi, -{3 \pi \over 4}}, 0.\)

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Все  ребра  правильной  четырехугольной  пирамиды  FABCD    с  основанием  ABCD  равны  7. Точки  P,Q,R  лежат  на  ребрах  FA, AB  и  ВС  соответственно,  причем  FP=BR=4,  AQ=3. 

А) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD 

Б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR  

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(log_5(2+x)(x-5)>log_{25}(x-5)^2.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, Р – точка пересечения его  диагоналей, АВ=CD=5, AD>BC. Высота , опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а  площадь треугольника ADP равна \({25\over 2}\).  

А) Докажите, что ABCD – равнобедренная трапеция 

Б) Найдите стороны AD, BC  и радиус окружности R.  

Решение: 

Решение во вложении.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Строительной  организации  необходимо  построить  некоторое  количество  одинаковых домов общей площадью 2500 м2. Стоимость одного дома площадью  a  м2 складывается  из  стоимости материалов \(p_1*a^{3\over 2}\) тыс.руб,  стоимости  строительных  работ \(p_2*a\) тыс.руб  и  стоимости  отделочных  работ \(p_3*a^{1\over 2}\)  тыс.руб.    Числа \(p_1, p_2, p_3\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21,  а  их  произведение  равно  64.  Если  построить  63  дома,  то  затраты на материалы  будут  меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить  домов, чтобы общие затраты были минимальными? 

Решение: 

Решение во вложении.

 

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения  a , при каждом из которых система уравнений  имеет хотя бы одно решение.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Рисунок: 
Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 а) На доске записаны числа: 4, 14, 24, ... , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно  число из записанных, потом стереть еще два, потом – еще три, и, наконец, стереть еще  четыре  числа  так,  чтобы  после  каждого  стирания  сумма  оставшихся  на  доске  чисел  делилась на 11? 

б) В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что  между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение  полученного выражения будет делиться на 2000 нацело. 

Решение: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  диаграмме  показано  количество  запросов  со  словом  СНЕГ,  сделанных  на  поисковом  сайте  Yandex.ru  во  все  месяцы  с  марта  2008  по  октябрь  2009  года.  По  горизонтали  указываются  месяцы,  по  вертикали  —  количество  запросов  за  данный  месяц.  Определите  по  диаграмме  наименьшее  месячное  количество  запросов  со  словом СНЕГ с января по октябрь 2009 года. 

Решение: 

Ответ 140000.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  S  круга,  считая  стороны  квадратных клеток равными 1. В ответе укажите \({S\over \pi}.\)

Решение: 

Радиус круга найдем как гипотенузу показанного на рисунке прямоугольного треугольника \(R=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.\)Тогда \({S\over \pi}=5.\)

Ответ 5.

Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Две  фабрики  выпускают  одинаковые  стекла  для  автомобильных  фар.  Первая  фабрика  выпускает  70%  этих  стекол,  вторая  —  30%.  Первая  фабрика  выпускает  5%  бракованных  стекол,  а  вторая  —  4%.  Найдите  вероятность  того,  что  случайно  купленное в магазине стекло окажется бракованным. 

Решение: 

Искомая вероятность равна (стекло может быть выпущено как первой, так и второй фабрикой): \(P=0.7*0.05+0.3*0.04=0.047.\)

Ответ 0.047.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  корень  уравнения \({1\over \sqrt{3-x}}={1\over x-1}\).  Если  корней  несколько,  то  в  ответе  укажите их сумму. 

Решение: 

\({1\over \sqrt{3-x}}={1\over x-1} \Rightarrow (x-1)^2=3-x \Rightarrow x^2-2x+1-3+x=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow x=2, x=-1.\)

Вспомним ОДЗ \((x-1>0; 3-x>0)\), тогда остается только корень \(x = 2.\)

Ответ 2.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают  дуги  описанной  окружности,  градусные  величины  которых  равны соответственно 95, 49, 71, 145 градусов. Найдите угол B  этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

Угол В - вписанный угол, он опирается на дугу ADC и равен половине градусной меры этой дуги, то есть, он равен 108 градусам.

Ответ 108.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Прямая \(y=4x-2\) является  касательной  к  графику  функции \(f(x)=ax^2+28x+14\).  Найдите  a . 

Решение: 

По геометрическму определению производной она равна угловому коэффициенту наклона касательной в точке касания. Из этого условия получим первое уравнение \(f^\prime(x_0)=2ax_0+28=4.\)

Второе уравнение получим из условия, что в точке касания оба уравнения (кривой и касательной) должны быть равны (точка касания удовлетворяет обоим уравнениям): \(4x_0-2=ax^2_0+28x_0+14.\)

Решая оба уравнения в системе, находим \(a=9.\)

Ответ 9.

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  объем  многогранника,  вершинами  которого  являются  точки \(A, B, C, A_1, C_1\) правильной  треугольной  призмы \(ABCA_1B_1C_1\),  площадь  основания  которой равна 3, а боковое ребро равно 2. 

Решение: 

Многогранник \(A, B, C, A_1, C_1\) - это пирамида, в основании лежит прямоугольник. Объем этой пирамиды равен 

\(V={1\over 3}a*b*h*={1\over 3}*b*2*({1\over 2}a*h)=\\={1\over 3}*2*2*S_{осн}=4*{3\over 3}=4.\)

Ответ 4.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  значение выражения \({9^{x+11}*2^{3x+8}\over 3^{2x+21}*4^{x+4}}\) при \(x = 2.\)

Решение: 

\({9^{x+11}*2^{3x+8}\over 3^{2x+21}*4^{x+4}}={3^{2x+22-2x-21}*2^{3x+8-2x-8}}=3*2^x=12.\)

Ответ 12.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?