Решения задач из варианта № 149 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%,  а  в  ноябре  еще  на  20%.  Сколько  рублей  стоил  1  кг  винограда  после  подорожания  в  ноябре? 

Решение: 

Виноград стал стоить \((60*1.25)*1.2=90\) рублей.

Ответ 90.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Датчик  сконструирован  таким  образом,  что  его  антенна  ловит  радиосигнал,  который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по  закону \(U=U_0sin(\omega t+\phi)\),  где \(t -\) время в секундах, амплитуда \(U_0=2\) В, частота \(\omega=120^0\),  фаза \(\phi=-30^0\).  Датчик  настроен  так,  что  если  напряжение  в  нeм  не  ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении  первой секунды после начала работы лампочка будет гореть? 

Решение: 

Составим неравенство в соответствии с условием задачи, подставим в неравенство все известные величины и решим его.

\(U_0sin(\omega t+\phi)>=1 \Rightarrow sin(120t-30)>=1 \Rightarrow \\ \Rightarrow 30<=120t-30<=150 \Rightarrow 0.5<=t<=1.5.\)

Тогда в течение первой секунды лампочка будет гореть с 0.5 с, то есть 50%.

Ответ 50%.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через  час после него со скоростью 12 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал  второй  велосипедист,  а  еще  через  час  после  этого    —  третий.  Найдите  скорость  третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после  этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

 

Решение: 

Обозначим скорость третьего велосипедиста через \(x\) км/ч, а время, за которое он догнал второго через \(t\) часов.

Первое уравнение составим из условия, что когда третий догнал второго, они проехали равные расстояния: \(x*t=(t+1)*12 \Rightarrow t={12\over x-12}.\)

Второе уравнение составим из условия, что когда третий догнал первого, они прошли равные расстояния до места встречи: \(15*(1+1+t+7/3)=15*(t+7/3).\)

Подставим во второе уравнение \( t={12\over x-12}\) и найдем неизвестную скорость.

Выберем скорость (из двух корней) большую, чем скорости первого и второго велосипедистов, так как иначе третий бы не смог их догнать. Тогда \(x = 24\) км/ч.

Ответ 24.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(y=({x+3})^2*e^{-3-x}\) на отрезке [-5; -1].

Решение: 

Находим призводную, приравниваем нулю, определяем критические точки. Ищем значение функции в критических точках и концах отрезка, выбираем наименьшее значение.

\(y^\prime=2(x+3)e^{-3-x}-(x+3)^2e^{-3-x} \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=-3, x=-1. \\y(-5)=4*e^2 ,\\y(-3)=0,\\y(-1)=4*e^{-2}.\)

Наименьшее значение =0.

Ответ 0.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(2^{|x-2|sinx}=(\sqrt2)^{x|sinx|}.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\pi; {\pi \over 2}].\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной четырехугольной  пирамиде FABCD  с  основанием ABCD все  ребра  равны  5.  Точки  M, N  лежат  на  ребрах  ВС  и  CD  соответственно,  причем  СМ=3,  DN=2.  Плоскость a  проходит через точки M, N и параллельна прямой FC. 

А) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна ребру AF.

Б) Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью \(\alpha.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(2log_{x+4}(2x+7)*log_{4x^2+28x+49}(2-x)+log_{1\over x+4}(x^2-5x+6)>=0.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Через  вершины  А,В,С  параллелограмма  ABCD  со  сторонами  АВ=3  и  ВС=5  проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке Е,  причем ВЕ=9.   А) Докажите, что ВЕ>BD  Б) Найдите диагональ BD 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Автофургон грузоподъемностью 339 кг перевозит ящики с виноградом и яблоками.  Вес и стоимость ящика с виноградом составляют 15 кг и 10 у.е., ящика с яблоками – 27 кг  и 8 у.е. соответственно. Известно, что количество загруженных на автофургон ящиков с  виноградом  составляет  не  более  70%  от  количества  загруженных  ящиков  с  яблоками.  Определите наибольшую возможную суммарную стоимость всех ящиков с виноградом  и яблоками, перевозимых автофургоном при данных условиях. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При каких значениях параметра  a  система имеет единственное решение?

Решение: 

Решение от egetrener.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

а)  Можно  ли  занумеровать  рёбра  куба  натуральными  числами  от  1  до  12  так,  чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была  одинаковой? 

б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1,  2, 3, 4, 5, 6. 

Решение: 

Решение в вложении.

Источник - alexlarin.com

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших  в  Томске  с  8  по  24  января  2005  года.  По  горизонтали  указываются  числа месяца,  по  вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах.  Для  наглядности  жирные  точки  на  рисунке  соединены  линией.  Определите  по  рисунку, сколько дней из данного периода выпадало меньше 2 миллиметров осадков.

Решение: 

Таких дней было 14.

Ответ 14.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  четырехугольника,  изображенного  на  клетчатой  бумаге  с  размером  клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных  сантиметрах. 

Решение: 

Искомая площадь - это разность площади квадрата со стороной 9 и площадей трех прямоугольных треугольников: \(S=9*9-0.5*6*6-0.5*3*8-0.5*3*9=\\=81-18-12-13.5=37.5.\)

Ответ 37.5.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Двое играют в кости ‐ они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у кого  больше очков. Если выпадает поровну, то наступает ничья. Первый бросил кубик, и у  него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет. 

Решение: 

Чтобы выиграл первый, надо чтобы у второго выпало 1, 2 или 3. Вероятность этого равна 0.5, так как всего у игрального кубика 6 граней.

Ответ 0.5.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  корень  уравнения \(\sqrt{6-4x-x^2}=x+4\).  Если  корней  несколько,  то  в  ответе укажите их сумму. 

Решение: 

Возведем в квадрат уравнение, решим его и выберем корни, входящие в ОДЗ: \(\sqrt{6-4x-x^2}=x+4 \Rightarrow 6-4x-x^2=x^2+8x+16 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2+6x+5=0 \Rightarrow x=-1, x=-5.\)

Второй корень не проходит по ОДЗ, тогда ответ -1.

Ответ -1.

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Прямая,  проведенная  параллельно  боковой  стороне  трапеции  через  конец  меньшего  основания,  равного  4,  отсекает  треугольник,  периметр  которого  равен  15.  Найдите периметр трапеции.

Решение: 

\(DE=EB, CB=DE \Rightarrow P=P_{\Delta}+2*DE=15+8=23.\)

Ответ 23.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  изображены  график  функции \(y=f(x)\) и  касательная  к  нему  в  точке  с  абсциссой \(x_0\).  Найдите  значение  производной  функции \(f(x)\) в точке \(x_0.\)

Решение: 

Воспользуемся геометрическим смыслом производной функции и найдем производную через тангенс угла наклона касательной в точке.

\(f^\prime(x_0)=tg\alpha=-{2\over 8}-0.25.\)

Ответ -0.25.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

От  треугольной  пирамиды,  объем  которой  равен  12,  отсечена  треугольная  пирамида  плоскостью,  проходящей  через  вершину  пирамиды  и  среднюю  линию  основания.  Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение: 

У малого треугольника, лежащего в основании новой пирамиды, высота стала в 2 раза меньше и основание уменьшилось в два раза по сравнению с первоначальным трегоульником. Тогда площадь основания новой пирамиды стала в 4 раза меньше площади основания старой пирамиды, следовательно, и объем новой пирамиды стал в 4 раза меньше.

Ответ 3.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите \(61a-11b+50,\) если \({2a-7b+5\over 7a-2b+5}=9.\)

 

Решение: 

\({2a-7b+5\over 7a-2b+5}=9 \Rightarrow 2a-7b+5=63a-18b+45 \Rightarrow \\ \Rightarrow 61a-11b+40=0 \Rightarrow 61a-11b+50=10.\)

Ответ 10.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?