Решения задач из варианта № 150 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  среднем  за  день  во  время  конференции  расходуется  70  пакетиков  чая.  Конференция  длится  6  дней.  В  пачке  чая  50  пакетиков.  Какого  наименьшего  количества пачек чая хватит на все дни конференции?

Решение: 

Всего нужно \({6*70/50}=9\) пачек чая. Здесь округлили в большую сторону.

Ответ 9.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Автомобиль,  движущийся  в  начальный  момент  времени  со  скоростью \(v_0=20\) м/с,  начал  торможение  с  постоянным  ускорением \(a=5\) м/с2.  За \(t\) секунд  после  начала  торможения  он  прошёл  путь \(S=v_0t-{at^2 \over 2}\) (м).  Определите  время,  прошедшее  от  момента  начала  торможения,  если  известно,  что  за  это  время  автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах. 

Решение: 

Подставим все известные в формулу для расстояния и найдем неизвестное время.

\(30=20t-5t^2/2 \Rightarrow t^2-8t+12=0 \Rightarrow t=2, t=6.\)

Выбираем \(t=2\), иначе по формуле получаем отрицательное расстояние.

Ответ 2.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и  на  путь  в  180  км  тратит  времени  на  2  часа  больше,  чем  скорый.  Найдите  скорость  товарного поезда. Ответ дайте в км/ч. 

Решение: 

Пусть скорость товарного поезда равна \(x \) км/ч, а скорость скорого поезда равна \(y\) км/ч.

Составим первое уравнение из первого условия, а второе - из второго. Из первого уравнения выразим скорость скорого поезда и подставим во второе уравнение. Решим его, выберем положительный корень.

\(x*{1\over 60}+0.75=y*{1\over 60 } \Rightarrow y=x+45.
\)

Второе уравнение: \({180\over x}-2={180\over x+45} \Rightarrow x=45.\)

Ответ 45.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(y=x+36/x\) на отрезке [1; 9].

Решение: 

\(y^\prime(x)=1-36/x^2 \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=\pm 6. \\y(1)=37,\\y(6)=12,\\y(9)=13.\)

Ответ 12.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(\sqrt{4cos2x-2sin2x}=2cosx.\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-{13 \pi \over 6}; -{\pi \over 2}].\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Основанием  пирамиды  SABCD  является  трапеция  ABCD,  у  которой    AD||BC.  На  ребре SC выбрана точка К так, что CK:KS=2:5. Плоскость, проходящая через точки А,В и  К,  пересекает  ребро  SD  в  точке  L.    Известно,  что  объемы  пирамид  SABKL  и  SABCD   относятся, как 95:189.   А) Постройте сечение пирамиды плоскостью АВК.  Б) Найдите отношение длин оснований трапеции ABCD 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(log_{4}(x^2-4)^2+log_2({x-1\over x^2-4})>0.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Две  окружности  имеют  общий  центр  О.  На  окружности  большего  радиуса  выбрана точка F.   А) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки F до концов диаметра меньшей  окружности не зависит ни от выбора точки F, ни от выбора диаметра.  Б) Известно, что радиусы окружностей равны 10 и 24. Найдите площадь треугольника,  вершинами  которого  являются  концы  диаметра  меньшей  окружности  и  точка  F,  тангенс угла F этого треугольника равен 1/4.  

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Цех получил заказ  на  изготовление  2000 деталей  типа А  и  14000 деталей  типа Б.  Каждый из 146 рабочих цеха затрачивает на изготовление одной детали типа А время, за  которое  он  мог  бы  изготовить  2  детали  типа  Б.  Каким  образом  следует  разделить  рабочих  цеха  на  две  бригады,  чтобы  выполнить  заказ  за  наименьшее  время,  при  условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая из бригад будет  занята изготовлением деталей только одного типа?

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения  a , при которых система имеет ровно один или два корня. 

Решение: 

Решение во вложении.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

а) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два  числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске  в результате нескольких таких операций остаться только число 15?  б) Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком‐либо  порядке  числами  1,  2,  ...,  20.  Если  секторы  занумерованы,  например,  в  следующем  порядке  1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18,  то наименьшая из  разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна  12 – 9 = 3.  Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?  в) Каково наибольшее возможное значение этой величины? 

Решение: 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке изображен график осадков в г.Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г.  На  оси  абсцисс  откладываются  дни,  на  оси  ординат —  осадки  в  мм.  Определите  по  рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков. 

Решение: 

Изграфика видно, что от 2 до 88 мм осадков выпадано в течение 3 дней.

Ответ 3.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  четырехугольника,  изображенного  на  клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см  (см. рис.).  Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 

Решение: 

Воспользуемся аддитивностью площади.

Искомая площадь равна разности площадей прямоугольника и трех треугольников: \(S=7*4-0.5*5*4-2*0.5*7*2=28-10-14=4.\)

Ответ 4.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Павел  Иванович  совершает  прогулку  из  точки  А  по  дорожкам  парка.  На  каждой  развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема  дорожек  парка  показана  на  рисунке.  Найдите  вероятность  того,  что  Павел  Иванович  попадет в точку G. 

Решение: 

По дороге Павлу Ивановичу надо пройти две развилки. Вероятность того, что на каждой из них он пойдет по верному пути, равна 0.5. Тогда искомая вероятность равна произведению этих двух вероятностей, так как события независимы.

\(P=0.5*0.5=0.25.\)

Ответ 0.25.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \((x-1)\sqrt{x^2-x-2}=0\). Если корней несколько,  то в  ответе укажите их сумму. 

Решение: 

ОДЗ: \(x^2-x-2>=0 \Rightarrow x>=2, x<=-1.\)

Тогда корень \(x =1\) не входит в ОДЗ.

Тогда ответ \(-1+2=1.\)

Ответ 1.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите  МС, если АВ=11, DC=33, AC=28.

Решение: 

Воспользуемся свойством подобия треугольников AMB, DMC (по двум углам).

Тогда \(AM:MC=1:3 \Rightarrow MC=3*(28/4)=21.\)

Ответ 21.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  изображен  график производной \(y=f^\prime(x)\) функции \(f(x)\), определенной на интервале (‐3; 14). Найдите количество точек, в которых касательная  к графику функции  \(f(x)\) параллельна прямой \(y=-2x-11\) или совпадает с ней. 

Решение: 

Таких точек три штуки. Они отмечены на графике. В них производная равна угловому коэффициенту касательной, то есть, равна -2.

Ответ 3.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Радиус  основания  цилиндра  равен  5,  высота -4.  Найдите   площадь сечения этого цилиндра плоскостью, параллельной его  оси и отстоящей от нее на расстояние 3. 

Решение: 

Из условия имеем (обозначения даны на рисунке): \(r=5, b=3 \Rightarrow a=2*\sqrt{25-9}=8.
\)

Тогда искомая площадь равна \(S=8*4=32.\)

Ответ 32.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(8tg{7\pi \over 3}*tg{11\pi \over 6}.\)

Решение: 

\(8tg{7\pi \over 3}*tg{11\pi \over 6}=8tg(2\pi +|{\pi \over 3})*tg(2\pi -{\pi \over 6})=\\=-8*tg{\pi \over 3}*tg({\pi \over 6})=-8.\)

Здесь воспользовались формулами приведения и свойством периодичности тангенса.

Ответ -8.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?