Решения задач из варианта № 151 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  чайном  салоне  проходит  акция:  покупая  пачку  чая  массой  100  г,  покупатель получает в подарок пачку  такого  же  чая  массой  30  г.  Какое  наибольшее  количество  (в 

граммах)  чая  можно  приобрести  во  время  этой  акции,  имея  700  рублей,  если  известно, что  пачка  чая  массой  100  г  стоит  180  рублей,  массой  50  г  –  120  рублей,  а  массой  30  г  – 80  рублей?  

Решение: 

Нужно купить три пачки по 100 г. В подарок покупатель получит три пачки оп 30 г и потратит на все 540 руб.

На оставшиеся деньги надо купить две пачки по 30 г.

Итого у покупателя будет 450 г чая.

Ответ 450. 

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  вращении  ведёрка  с  водой  на  верёвке  в  вертикальной  плоскости  вода  не  выливается  из  него,  если  сила  её  давления  на  дно  ведёрка  неотрицательна  во  всех  точках  траектории.  В  верхней  точке  траектории  сила  давления  воды  на  дно  минимальна и равна \(P=m({v^2\over L}-g)H,\) где m – масса воды в кг, v – скорость движения  ведёрка  в  м/с,  L  –  длина  веревки  в  метрах,  g  =  9,8  м/с2  –  ускорение  свободного  падения.  С  какой  минимальной  скоростью  v  надо  вращать  ведёрко,  чтобы  вода  не  выливалась из него, если длина веревки равна 39,2 см? Ответ дайте в м/с. 

Решение: 

Переведем длину в метры и подставим все известные в формулу. Запишем неравенство исходя из условия задачи: \(m({v^2\over 0.392}-9.8)>=0 \Rightarrow v^2>=9.8*0.392 \Rightarrow v>=1.96.\)

Здесь взяли только положительную скорость исходя из физического смысла задачи.

Ответ 1.96.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Теплоход проходит по течению реки от пункта А до пункта В, расстояние между  которыми  120  км,  и  после  стоянки  возвращается  в  пункт  А.  Найдите  скорость  теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 5  часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из  него. Ответ дайте в км/ч. 

Решение: 

Пусть скорость теплохода в стоячей воде, тогда составим уравнение из условий задачи (найдем все время нахождения теплохода в пути):

 \({120 \over x+2}+{120 \over x-2}+5=30 \Rightarrow 24x+48+24x-48=5(x^2-4) \Rightarrow \\ \Rightarrow 5x^2-48x-20=0 \Rightarrow x=10.\)

Так как скорость - величина неотрицательная, то берем только положительный корень.

Ответ 10.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наибольшее значение функции \(f(x)=(x-1)e^{2x-1}\) на отрезке \([-1; 1].\)

Решение: 

\(f^\prime(x)=e^{2x-1}+2(x-1)e^{2x-1}=e^{2x-1}(2x-1) \Rightarrow \\ \Rightarrow f^\prime(x)=0 \Rightarrow x=0.5.\)

\(f(-1)=-2e^{-3},\\f(0.5)=-0.5,\\f(1)=0.\)

Ответ 0.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(4^{\sqrt3cos^2x}=(0.5)^{sinx}\).

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-6\pi; -{9\pi \over 2}].\)

Решение: 

\(4^{\sqrt3cos^2x}=(0.5)^{sinx} \Rightarrow 2^{2\sqrt3cos^2x}=2^{-sinx}\Rightarrow 2\sqrt3cos^2x=-sinx \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\sqrt3(1-sin^2x)=-sinx \Rightarrow 2\sqrt3sin^2x-sinx-2\sqrt3=0 \Rightarrow sinx=-{\sqrt3 \over 2}.\)

Второй корень не берем, так как он по модулю больше единицы.

Тогда имеем решение: а)  \(x=-{\pi \over 3}+2\pi n, x=-{2\pi \over 3}+2\pi n.\)

Корни из отрезка выбираем с помощью единичной окружности, тогда имеем:

б) \({-14\pi \over 3}.\)

 

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) на продолжении ребра \(BB_1\) отмечена точка \(P\) так, что \(PB:BB_1=3:4\). Через точки \(A\) и \(P\) параллельно прямой \(BD_1\) проведена плоскость \(\alpha\). 

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(DC\) в отношении 1:2.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(PB=18.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\)  касаются  внешним  образом. \(A_1A_2, B_1B_2\) –  их  общие  внешние касательные (\(A_1, B_1\) – точки касания с \(\omega_1\), \(A_2, B_2\) – точки касания с \(\omega_2\)).

А)  Докажите,  что  расстояние  между  хордами \(A_1A_2, B_1B_2\)  равно  среднему  гармоническому диаметров окружностей.  (средним  гармоническим  двух  положительных  чисел  а  и  b  называется  значение  выражения \({2\over {1\over a}+{1\over b}}\)) 

Б)  Найдите  площадь  четырехугольника \(A_1A_2B_1B_2\),  если  радиусы  окружностей  равны  соответственно 9 и 4.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Подруги Полина и Кристина мечтают стать моделями. 1 января они решили начать  худеть. При этом вес у Полины оказался на 10 % больше, чем у Кристины.   31 января выяснилось, что Полина сбросила 4% своего веса, а Кристина 1%.   В феврале Кристина собирается похудеть еще на 2%.

А) На какое наименьшее целое число % нужно похудеть в феврале Полине, чтобы к 1  марта её вес стал меньше, чем у Кристины?

Б) Сколько будет весить к концу февраля Кристина, если известно, что 1 января Полина  весила 55 кг?

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  все  значения  а,  при  каждом  из  которых имеет  ровно  два  различных  действительных корня. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexalrin.com.

 

Рисунок: 
Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Как известно, шахматный конь ходит буквой «Г» (рис.)  Конь расположен в левой нижней клетке шахматной доски 8х8 (поле А1).  

А) Может ли конь оказаться в верхней правой клетке  (на поле Н8), сделав при  этом ровно 2015 ходов?   

Б) Может ли конь за 63 хода побывать в каждой из оставшихся 63 клеток?   В) За какое  наименьшее число  ходов конь может  оказаться в верхней  правой клетке  (на поле Н8)?

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Рисунок: 
Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На графике показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали – удельная теплоёмкость в \({Дж\over кг*^oС}\). Определите по рисунку, на сколько изменится удельная теплоёмкость раствора при повышении температуры с 50° до 100°. Ответ дайте в \({Дж\over кг*^oС}.\)

Решение: 

Удельная теплоемкость раствора изменилась на 40.

Ответ 40.

Файл с решением: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Решение: 

Площадь найдем как разность площадей прямоугольника и трех прямоугольных треугольников: \(S=S_{прямоуг}-S_{треуг1}-S_{треуг2}-S_{треуг3}=\\=5*4-0.5*2*5-0.5*2*2-0.5*4*3=7.\)

Ответ 7.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из  двузначных  чисел  наугад  выбирают  одно  число.  Какова  вероятность  того,  что  будет выбрано число, десятичная запись которого содержит цифру 2? 

Решение: 

Всего 99-10+1=90 двухзначных чисел.

Числа, в записи которых присутствует цифра 2: 12, 20-29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Их всего 18 штук.

Тогда искомая вероятность равна \(P=18/90=0.2.\)

Ответ 0.2.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(9^{2x-1}={1\over 27}.\)

Решение: 

\(9^{2x-1}={1\over 27} \Rightarrow 3^{4x-2}=3^-3 \Rightarrow 4x-2=-3 \Rightarrow x=-0.25.\)

Ответ -0.25.

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Найдите радиус окружности, если \(AC=3\sqrt3\), а угол \(D\) равен \(120^o\)

Решение: 

Так как угол D равен 120 градусам, то дуга, на которую он опирается равна 240 градусам. Тогда угол ABC равен 60 градусам, так как он опирается на дугу в \(360-240=120^o\) градусов.

Угол AOC - центральный, он опирается на ту же дугу, что и угол ABC, тогда кгол AOC равен 120 градусам.

Тогда из треугольника AOM может по определению синуса найти искомый радиус (О - центр окружности): \(sinAOM=sin60^o=AM/R \Rightarrow R=3.\)

Ответ 3.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

К  графику  функции \(y=f(x)\) в  точке  с  абсциссой \(x_0\) проведена  касательная.  Определите  значение  производной \(f^\prime(x)\) в точке \(x_0\).  

Решение: 

Производная - это тангенс угла наклона касательной. Тогда \(f^\prime(x_0)=3/4=0.75.\)

Ответ 0.75.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  объем  правильной  шестиугольной  призмы,  каждое  ребро которой равно \(2\sqrt3\).

Решение: 

Объем призмы - площадь основания умножить на высоту. Площадь основания состоит из 6 правильных треугольников.

Тогда \(V=S*h=2\sqrt3*(6S_{треуг})=\\=2\sqrt3*6*0.5*2\sqrt3*2\sqrt3*sin60^o=108.\)

Ответ 108.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Известно, что \(tg\alpha={\sqrt{15} \over 15}, \pi <\alpha<{3\pi \over 2}.\) Найдите \(sin\alpha.\)

Решение: 

\(tg\alpha={sin \alpha\over cos \alpha}={sin\alpha \over \sqrt{1-sin^2\alpha}} \Rightarrow sin\alpha=-\sqrt{tg^2\alpha\over 1+tg^2\alpha}=-0.25.\)

Знак взяли исходя из того, какой знак принимает sin в заданной третьей четверти.

Ответ -0.25.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?