Решения задач из варианта № 153 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В магазине  «Мир  посуды»  при  покупке  более  25  тарелок  предоставляется скидка  10%  от  стоимости  покупки.  Десертная  тарелка  фирмы  «Luminarc»  стоит  125  рублей.  Какое наибольшее число таких тарелок можно приобрести на 3000 руб? 

Решение: 

Если купить 26 тарелок, то их стоимость составит с учетом скидки: \(26*125*0.9=2925\) рублей.

Ответ 26.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Скорость  автомобиля \(v\),  разгоняющегося  с  места  старта  по  прямолинейному  отрезку пути длиной \(l\) км с постоянным ускорением \(a\) км/ч2, вычисляется по формуле \(v^2=2la\).  Определите,  с  какой  наименьшей  скоростью  будет  двигаться  автомобиль  на  расстоянии 400 метров от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля  приобретаемое им ускорение не меньше 8000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.   

Решение: 

Подставим все известные в формулу и найдем скорость \(v=\pm\sqrt{2la}=\sqrt{2*400*10^{-3}*8000}=80\) км/ч.

Ответ 80.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Три  каменщика  разной  квалификации  выложили  кирпичную  стену,  причем  первый работал 6 ч, второй – 4 ч, а третий – 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч,  второй –   2 ч и третий – 5 ч, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов  каменщики  закончили  бы  кладку,  если  бы  они  работали  все  вместе  одно  и  то  же  время? 

Решение: 

Составим первое уравнение из первого условия, обозначив производительности рабочих через \(x, y, z,\) и приняв всю работу на единицу.

\(6x+4y+7z=1.\)

Второе уравнение составим из второго условия.

\(4x+2y+5z=2/3.\)

Вычтем из первого уравнения второе и получим.

\(2x+2y+2z=1/3.\)

Тогда найдем время, если все рабочие будут выполнять работу вместе: \(2(x+y+z)=1/3 \Rightarrow 6(x+y+z)=1.\) Тогда искомое время равно 6 часам.

Ответ 6.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

К  графику функции \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) в его  точке с абсциссой \(x_0=1\) проведена  касательная.  Найдите  угол,  который  образует  эта  касательная  с  положительным  направлением оси абсцисс. Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

\(f^\prime(x)=-{2x\over 2\sqrt{4-x^2}},\\f^\prime(x_0)=-{\sqrt3\over 3}.\)

Тогда угол равен 150 градусам, так как производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной.

Ответ 150.

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(4^{1+sinx}-5(\sqrt2)^{1+2sinx}+2=0.\)

а) решите уравнение

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([5\pi; {13\pi \over 2}].\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  правильной  треугольной  пирамиде  SABC  точка  Р  –  середина  АВ,  точка  К  –  середина ВС. Через точки Р и К параллельно SB проведена плоскость Ω.   А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.  Б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC=5, AC=6. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 15

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Решите неравенство \(log_2^2x-{3\over log_x2}+2>=0.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В равнобокую трапецию вписана окружность.  А)  Докажите,  что  диаметр  окружности  равен  среднему  геометрическому  длин  оснований трапеции.  (Средним  геометрическим  двух  положительных  чисел  а  и  b    называется  значение  выражения\(\sqrt{ab}\))  Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в  точках касания  окружности  со  сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.     

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Для  производства  некоторого  продукта  В,  содержащего  40%  спирта,  Алексей  может  закупать  сырьё  у  двух  поставщиков  А  и  Б.  Поставщик  А  предлагает  90%‐ый  раствор  спирта  в  канистрах  объёмом  1000  л  по  цене  100  тыс.  руб.  за  канистру.  Поставщик Б предлагает 80%‐ый раствор спирта в канистрах объёмом 2000 л по цене  160  тыс.  руб.  за канистру. Полученный в  ходе  производства  продукт В  разливается в  бутылки  объёмом  0,5  л.  Какую  наименьшую  сумму  Алексей  должен  затратить  на  сырье, если планируется произвести ровно 60 000 бутылок продукта В? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение.   

Решение: 
Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Определите, имеют ли общие члены две последовательности 

А) 3; 16; 29; 42;…    и     2; 19; 36; 53;…

Б) 5; 16; 27; 38;…     и      8; 19; 30; 41;…

В)  Определите,  какое  наибольшее  количество  общих  членов  может  быть  у  двух  арифметических прогрессий  1; …; 1000   и    9; …; 999,  если известно, что у каждой из  них разность является целым числом, отличным от 1. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник -alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике  изображена  зависимость  крутящего момента  двигателя  от  числа  его  оборотов  в  минуту.  На  оси  абсцисс  откладывается  число  оборотов  в  минуту,  на  оси  ординат  –  крутящий  момент  в  Н∙м.  Скорость  автомобиля  (в  км/ч)  приближённо  выражается  формулой  v=0,03п,  где  п  –  число  оборотов  двигателя  в  минуту.  С  какой  наименьшей  скоростью  должен  двигаться  автомобиль,  чтобы  крутящий  момент  был  не меньше 45 Н∙м? Ответ дайте в километрах в час.  

Решение: 

Скорость составит \(v=0.03*1200=36\) км/ч.

Ответ 36.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите косинус угла между векторами \(a(-2, 4), b(2, -1).\)

Решение: 

Воспользуемся определением скалярного произведения векторов и найдем косинус угла: \(cos\phi={a*b\over |a|*|b|}=-0.8.\)

Ответ -0.8.

Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Толя написал в тетради трёхзначное число, делящееся на 30. Катя должна угадать  это число, записав три трёхзначных числа, делящихся на 30, а затем сравнив эти числа  с числом, написанным Толей. Какова вероятность, что Катя угадает записанное Толей  число? 

Решение: 

Толя мог загадать одно из 30 чисел, так как среди трехзначных чисел всего 30 делятся на 30.

Это легко показать. Числа, которые делятся на 30, должны делиться на 10 и на 3: 120, 150, 180, ..., 900, 930, 960, 990.

У Кати есть три попытки угадать загаданное Колей число.

Тогда искомая вероятность равна \(P=3/30=0.1.\)

Ответ 0.1.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(log_{0.1}(16+3x)=lg0.1.\)

Решение: 

\(log_{0.1}(16+3x)=lg0.1 \Rightarrow 16+3x=10 \Rightarrow x=-2.\)

Ответ -2.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  равнобедренную  трапецию  вписана  окружность.  Найдите  среднюю  линию  трапеции,  если  точка  касания  окружности делит боковую сторону трапеции на отрезки,  равные 2 и 4. 

Решение: 

Так как в трапеция вписана окружность, то суммы ее противоположных  сторон равны.

Отсюда найдем среднюю линию трапеции.

\(a+b=2*(2+4) \Rightarrow d={a+b\over 2}=2+4=6.\)

Ответ 6.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  приведен  график \(y=F(x)\) одной из первообразных функции \(f(x)\). На  графике отмечены шесть точек с абсциссами \(x_1, x_2,..., x_6\). В скольких из этих точек функция \(y=f(x)\) принимает отрицательные значения? 

Решение: 

Если функция \(f(x)\) принимает отрицательные значения, то ее первообразная убывает. Тогда ответом будут 3 точки \(x_1, x_2,x_4.\)

Ответ 3.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  объем  многогранника,  приведенного  на  рисунке.  Все двугранные углы прямые. 

Решение: 

Объем равен сумме объемов двух прямоугольных параллелепипедов: \(V=2*2*4+6*4*2=64.\)

Ответ 64.

Рисунок: 
Другие задачи темы: