Решения задач из варианта № 155 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  спортивной  гимназии  обучается  777  школьников.  Известно,  что  число  девочек  составляет  не  менее  33%  от  числа  всех  учащихся  гимназии.  Какое  наибольшее  количество мальчиков может быть в этой гимназии? 

Решение: 

Девочек в гиманазии обучается \(777*0.33=257\). Тогда мальчиков учится 520 человек.

Ответ 520.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Кинетическая  энергия  тела,  имеющего  массу \(m\) (кг)  и  скорость \(v\) (м/с)  равна  \(E={mv^2\over 2}\) (Дж). Какую наименьшую начальную скорость должна иметь пуля массой 10  грамм, чтобы при прохождении через неподвижную мишень передать ей энергию не  меньше 600 Дж, уменьшив при этом свою скорость не более, чем в два раза? (Считать,  что в процессе полёта пули потери энергии не происходит). Ответ дайте в м/с.       

Решение: 

Подставим все известные в формулу для кинетической энергии и найдем искомую начальную скорость: \({mv_0^2\over 2}=600+{mv_0^2\over 2*4} \Rightarrow {3mv_0^2\over 8}=600 \Rightarrow v_0=400\) м/с.

Ответ 400.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Моторная  лодка  проплыла  против  течения  реки  150  км  и  вернулась  в  пункт  отправления,  затратив  на  обратный  путь  на  4  часа  меньше,  чем  на  путь  против  течения.  Найдите  скорость  течения  реки,  если  скорость  лодки  в  неподвижной  воде  равна 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: 

Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч, тогда на прямой путь против течение лодка затратила \({150\over 20-x}\) часов, а на обратный путь она затратила \({150\over 20+x}\) часов. Тогда составим уравнение в соответствии с условием задачи \({150\over 20-x}=4+{150\over 20+x} \Rightarrow x=5\) км/ч.

Ответ 5.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  точку  минимума  функции \(f(x)=x^3(3x+4)-12(x^2+1)\) на  промежутке (‐5; 0,5).

Решение: 

\(f^\prime(x)=3x^2(3x+4)+3x^3-24x=12x^3+12x^2-24x=\\=12x(x^2+x-2)=12x(x-1)(x+2).\)

\(f^\prime=0 \Rightarrow \\ x=0,\\x=1,\\ x=-2.\)

Среди них точка минимума это точка \(x = -2.\)

Проверьте это самостоятельно, изучив промежутки возрастания и убывания функции на заданном отрезке.

Ответ -2.

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано  уравнение \(log_2 x^2+log_x 4=5.\).

а) решите уравнение 

б) уажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\sqrt [3]{3}; \sqrt [3]{65}].\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Через середину ребра \(AA_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) перпендикулярно прямой \(BD_1\) проведена плоскость \(\alpha\). 

А) Докажите, что сечением куба плоскостью \(\alpha\) является правильный шестиугольник.

Б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\).

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  прямоугольный  треугольник  АВС  вписана  окружность  ω,  касающаяся  гипотенузы  АВ  в  точке  М.  Точка  О  –  центр  описанной  около  треугольника  АВС  окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону  АС в точке Р.

А) Докажите, что площадь треугольника АВС равна произведению длин отрезков АМ и  ВМ.

Б) Найдите площадь четырехугольника ВСРО, если известно, что АМ=12, ВМ=5.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 

Найдите  все  а,  при  каждом  из  которых  уравнение  имеет ровно один корень. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexalrin.com.

Рисунок: 
Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

А) Какое наибольшее  число  ладей  можно  поставить  на  шахматной  доске  так,  чтобы никакие две не били друг друга?

Б) На  шахматной  доске  поставлены  восемь  ладей.  Какое наибольшее  число  клеток  может оказаться не под боем этих ладей?

В) На 64 клетках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду  слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т.д.) Восемь ладей  поставлены  так,  что  никакие  две  не  бьют  друг  друга.  Подсчитана  сумма  чисел,  написанных  на  тех  восьми  клетках,  на  которых  поставлены  ладьи.  Найдите  все  значения, которые может принимать эта сумма.

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке  показано  изменение  биржевой  стоимости  акций  нефтедобывающей  компании  в  первой  половине  мая.  3  мая  бизнесмен  приобрёл  2000  акций  этой  компании.  1000  акций  он  продал  7  мая,  а  остальные  акции  продал  12 мая.  Сколько  рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение: 

Бизнесмен потерял \(2000*350-1000*340-1000*320=40000\) рублей.

Ответ 40000.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  рисунке клетка  имеет  размер  1  см  х  1  см. Найдите  площадь  треугольника  с  вершинами  в  точках  А,  В  и  С.  Ответ приведите в квадратных сантиметрах. 

Решение: 

Площадь - это половина длина основания на длину высоты. Тогда \(S=0.5*7*8=28.\)

Ответ 28.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Некоторый  прибор  состоит  из  трёх  блоков.  Если  в  работе  одного  из  блоков  происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя в течение года для первого и  второго блоков составляет по 0,2, а для третьего блока – 0,1. Какова вероятность, что в  течение года произойдёт хотя бы одно отключение данного прибора?  

Решение: 

Найдем вероятность того, что прибор в течение года не отключится: \(P_1=(1-0.2)*(1-0.2)*(1-0.1)=0.576.\)

Тогда искомая вероятность равна \(P=1-P_1=1-0.576=0.424.\)

Ответ 0.424.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  трапеции  АВСD  (АВ||СD)  угол  DCB  равен  72о.  Окружность  с  центром в точке В проходит через точки А, D и С. Найдите величину  угла ADC. Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

\({<}ABC=180-{<}DCB=108^0.\)

Угол ADC  - вписанный, он равен половине градусной меры дуги, на котороую он опирается. 

Угол ABC - центральный, он равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Тогда \({<}ADC=0.5*(360-108)=126^0.\)

Ответ 126.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

К графику функции \(y=f(x)\) в точке с абсциссой \(x_0\) проведена касательная, которая  параллельна прямой, проходящей через точки  (‐1; 2) и  (3;  ‐3) этого  графика. Найдите \(f^\prime(x_0).\) 

Решение: 

Из геометрического смысла производной: она равна угловому коэффициенту наклона касательной.

Найдем уравнение прямой, проходящей через две точки  (‐1; 2) и  (3;  ‐3). Тогда угловой коэффициент наклона касательной будет равен угловому коэффиценту этой прямой.

\({x+1\over 3+1}={y-2\over -3-2} \Rightarrow k=-1.25.\)

Тогда \(f^\prime(x_0)=-1.25.\)

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром  шара.  Найдите  объем  конуса,  если  объем  шара  равен  120. 

Решение: 

Так как радиус шара и радиус основания конуса, и его высота совпадают, то 

\(V_{к}={1\over 3}\pi r^2h={1\over 3}\pi r^3={1\over 4}V_{ш}=30.\)

Ответ 30.

Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вычислите \(\sqrt{12}cos^2{5\pi \over 12}-\sqrt3.\)

Решение: 

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла.

\(\sqrt{12}cos^2{5\pi \over 12}-\sqrt3=\sqrt{12}*{1+cos{5\pi \over 6}\over 2}-\sqrt3=\\=\sqrt{3}(1+cos{5\pi \over 6})-\sqrt3=-\sqrt{3}*\sqrt{3}/2=-1.5.\)

Ответ -1.5.

Другие задачи темы: