Решения задач из варианта № 161 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Футболисты Саша и Паша в одном из ресторанов Монако за один вечер потратили по 125000 €. За сколько лет может заработать такую сумму средний провинциальный учитель  с месячной  зарплатой  15000  рублей, если  курс евро в  тот день  составлял  72 рубля?

Решение: 

Учитель должен проработать \(125000*72/15000/12=50\) месяцев.

Ответ 50.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В дне  цилиндрического  бака  имеется  кран.  После  его  открытия  вода  начинает  вытекать  из  бака,  при  этом  высота  столба  воды  в  нём,  выраженная  в  сантиметрах,   меняется  по  закону \(H(t)=at^2+bt+96,\)  где  a=0,6  см/мин2,  b (см/мин)  –  постоянные  параметры,  t – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Известно, что  через  10 минут  после  открытия  крана вся воды  вытечет  из  бака.  Каким  будет  уровень  воды в баке через 5 минут после открытия крана? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: 

Подставим сначала в формулу для высоты уровня воды в баке значения для 10 минут и найдем неизвестный параметр: \(0=0.6*10^2+10b+96 \Rightarrow b=-15.6.\)

Тогда ответ будет следующим \(H(5)=0.6*5^2-15.6*5+96=33.\)

Ответ 33.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Решение: 

Пусть \(x\) м2/день запланированная производительность плиточника, а \(t \) суток  - запланированное время работы.

Составим первое уравнение из первого условия, а  второе уравнение - из второго условия.

Затем раскроем скобки во втором уравнении, подставим в него первое и решим относительно \(x.\)

\(1-е: xt=187 \\2-е: (x+6)(t-6)=187 \Rightarrow xt-6x+6t=187 \Rightarrow t=x+6. \\x(x+6)=187 \Rightarrow x^2+6x-187=0 \Rightarrow x=11.\)

Ответ 11.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наибольшее значение функции \(y=x^2-x^4.\)

Решение: 

Выделим полный квадрат

\(y=x^2-x^4=-((x^2)^4-2*0.5*x^2+(0.5)^2)+0.25=-(x^2-0.5)+0.25.\)

Тогда наибольшее значение равно 0.25, так как функция в скобках (полный квадрат) возрастает, а, следовательно, вся функция убывает при росте \(x\), так как перед  скобкой стоит знак минус.

Ответ 0.25.

Другие задачи темы: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка М так, что  SM:MС=7:18. 

а) Докажите, что плоскости SBC и АВМ перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость АВМ. 

Решение: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. 

Решение: 

Решение во вложении.

 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 19

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Можно  ли  п   попарно  различных  натуральных чисел  расположить  по кругу  так, чтобы сума любых двух соседних чисел являлась точным квадратом, если

а) п = 3;   

в) п = 5?

б) п = 4;

 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике  точками  отмечена  максимальная  цена  (в  рублях)  одной  акции  металлургического  комбината  в  течение  каждого  из  12  месяцев  2007‐го  года.  Для  наглядности точки соединены отрезками. Определите, сколько месяцев в 2007‐м году  максимальная цена одной акции этой компании превышала 70 руб.

Решение: 

Таких месяцев было 3 штуки.

Ответ 3.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите длину  отрезка СК. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение: 

Искомый отрезок - медиана, проведенная к гипотенузе.

Его длина равна половине длины гипотенузы, то есть, 6.5 см.

Ответ 6.5.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Витя  пишет  на  доске  любую  цифру  от  1  до  8.  После  этого  Наташа  рядом  (либо справа, либо слева) приписывает также любую цифру от 1 до 8. Найдите вероятность того, что записанное двузначное число будет делиться на 7.

Решение: 

Всего двузначых чисел будет \(8*8=64\) штуки.

Среди них на 7 будут делиться только 14, 21, 28, 35, 42, 56, 63, 77 и 84.

Тогда искомая вероятность равна \(P=9/64=0.140625.\)

Ответ 0.140625.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  окружности  отмечены  точки А, В  и С  так, что  дуги АnC,  BmC  и  ApB  относятся,  как  7:6:5.  Определите,  на  сколько  градусов угол АВС больше, чем угол АСВ.

Решение: 

Окружность поделена дугами на 7+5+6=18 частей. Каждая часть равна 20 градусам. Тогда градусные меры дуг составляют 140, 120 и 100 градусов.

Тогда вписанные углы, опирающиеся на дуги AnC и ApB равны 70 и 20 градусам соответственно. Тогда ответ 20 градусов.

Ответ 20.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике  дифференцируемой  функции \(y=f(x)\) отмечены  семь  точек: \(x_1,...,x_7\).  Найдите все  отмеченные  точки, в которых  производная функции \(f(x)\) больше  нуля.  В  ответе укажите количество этих точек.

Решение: 

Производная функции \(f(x)\) больше  нуля в тех точках, в которых функция возрастает. Тогда таких точек на графике 2 штуки.

Ответ 2.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Площадь  боковой  поверхности  конуса  равна  10,  а  косинус  угла  между  образующей  конуса  и  плоскостью  основания  равен  0,64.  Найдите площадь полной поверхности конуса. 

Решение: 

Площадь боковой поверхности конуса равна \(S=\pi rl,\) где \(r-\) радиус основания, а \(l-\) образующая.

Из прямоугольного треугольника имеем \(r=l*cos\phi=l*0.64 \Rightarrow l={r\over 0.64}.\)

Тогда \(S=\pi r^2/0.64=10 \Rightarrow \pi r^2=6.4.\)

Окончательно имеет \(S_{полн}=10+6.4=16.4.\)

Ответ 16.4.

 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({cos18^o*sin18^o\over cos126^o}.\)

Решение: 

Применим формулу синуса двойного угла и формулы приведения: \({cos18^o*sin18^o\over cos126^o}={0.5sin26^o\over -sin36^o}=-0.5.\)

Ответ -0.5.

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?