Решения задач из варианта № 163 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Из некоторого количества шерсти получается рулон тонкослойного войлока длиной  40  м  и  шириной  90  см.  Сколько  метров  тонкослойного  войлока  можно  получить  из  такого же количества шерсти, если ширина рулона будет 1,2 м?

Решение: 

Из того же количества шерсти можно будет получить рулон шерсти длиной \(0.4*0.9/1.2=0.3=30 см.\)

Ответ 30.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой \(\eta={T_1-T_2\over T_1}*100\%\).  При  каком  наименьшем  значении  температуры  нагревателя  Т1 КПД этого двигателя будет не меньше 75%, если температура холодильника \(T_2=120\)? 

Решение: 

Подставим все известные величины в формулу и найдем неизвестную температуру \(75\%={T_1-120\over T_1}*100\% \Rightarrow 0.75*T_1=T_1-120 \Rightarrow T_1=480.\)

Ответ 480.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Два велосипедиста  с постоянными скоростями  стартуют  одновременно в  одном  направлении из двух диаметрально противоположных точек  круговой  трассы.  Через  10  минут  после  старта  один  из  велосипедистов  в  первый  раз  догнал  другого.  Через  какое время после старта первый велосипедист во второй раз догонит другого? Ответ  дайте в минутах.

Решение: 

Более быстрый велосипедист до первой встречи со вторым проехал столько же, сколько и второй, плюс половину круга, то есть составим первое уравнение, обозначив их скорости через \(x, y.\)

\(10y=10x+0.5l.\)

Второе уравнение составим из второго условия: \(y*t=x*t+l.\)

Выразим время из второго уравнения, использовав первое: \((y-x)t=20(y-x) \Rightarrow t=20.\)

Тогда искомое время равно 30 минутам.

Ответ 30.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите наименьшее значение функции \(y=x^3-9x^2+3\) на отрезке [‐3; 7].

Решение: 

Алгоритм следующий.

Ищем производную, приравниваем ее нулю. Находим критические точки.

Ищем значения функции  критических точках и в концах отрезка. Выбираем среди них наименьшее.

\(y^\prime=3x^2-18x \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=0, x=\pm \sqrt6.
\\y(0)=3,\\y(-3)=-105,\\y(t)=217\\...\)

Ответ -105.

Ответ -105.

 

Другие задачи темы: 

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дано уравнение \(625^x-6*125^x+9*25^x=4*25^x-24*5^x+36.\)

а) решите уравнение

б) укажите корни из отрезка \([{1\over 3}; {1\over 2}]\).

Решение: 

Решение во вложении.

Источник  - alexlarin.com.

Файл с решением: 

Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Дана  правильная  шестиугольная  призма .  Через  точки \(B, D_1, F_1\) проведена плоскость α.  \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\)

а)  Докажите,  что  плоскость  α пересекает  ребро  \(CC_1\) в  такой  точке \(M\),  что \(MC:MC_1=1:2.\)

б)  Найдите  отношение  объемов  многогранников,  на  которые  данную  призму  делит   плоскость α. 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexalrin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 16

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Четырехугольник  АВСD  со  взаимно  перпендикулярными  диагоналями  АС  и  BD вписан в окружность.  

А)  Докажите,  что  квадрат  диаметра  окружности  равен  сумме  квадратов  противоположных сторон четырехугольника.   

Б) Найдите площадь четырехугольника АВСD, если известно, что \(AB=\sqrt5, BC=\sqrt2, CD=\sqrt7.\)

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexalrin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 17

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  распоряжении  прораба  Валерия  имеется  бригада  каменщиков в  составе  40  человек. Их нужно распределить на неделю на два строящихся объекта.

Если  на  первом  объекте  работает  t  человек,  то  их  недельная  зарплата  составляет \(1.5t^2\) тыс. рублей.  

Если  на  втором  объекте  работает  t  человек,  то  их  недельная  зарплата  составляет \(2t^2\) тыс. рублей.  

Как  Валерию  нужно  распределить  на  эти  объекты  бригаду  каменщиков,  чтобы  выплаты на их недельную зарплату оказались наименьшими? Сколько рублей в этом  случае пойдет на зарплату?

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexalrin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 18

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  все  а,  при  каждом  из  которых  уравнение \(2cos2x+2asinx+a-1=0\) имеет  наибольшее  количество  решений  на  отрезке \([-\pi; {17\pi \over 6}]\). Чему равно это количество? 

Решение: 

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.

Файл с решением: 
Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На  графике  показано  изменение  кинетической  энергии  Е  движущегося  тела  (в  килоджоулях)  в  зависимости  от  времени  t  (в  минутах).  На  сколько  килоджоулей  увеличится кинетическая энергия тела в течение третьего часа движения? 

Решение: 

Энергия увеличится на 3 кДж.

Ответ 3.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите  площадь  закрашенного  четырехугольника.

Решение: 

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на длину высоты, тогда \(S=2*2=4.\)

Ответ 4.

Рисунок: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 Музыкальный фестиваль проводится в 6 дней. Всего запланировано 80 выступлений   –    первые  четыре  дня  по  15  выступлений,  остальные  распределены  поровну  между  пятым  и  шестым  днями.    Порядок    выступлений  определяется  жеребьёвкой.  Какова  вероятность, что выступление группы «Ленинград» с композицией «Экспонат» окажется  запланированным на предпоследний день фестиваля?

Решение: 

Искомая вероятность равна (отношению благоприятных исходов к общему числу исходов) \(P=10/80=0.125.\)

Ответ 0.125.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(32^{x+3.2}=1/2.\)

Решение: 

\(32^{x+3.2}=1/2 \Rightarrow 2^{5x+16}=2^{-1} \Rightarrow 5x=-17 \Rightarrow x=-3.4.\)

Ответ -3.4.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 Из  точки  С  к  окружности  провели  секущую  СВ  и  касательную  СD  (D  –  точка  касания).  Найдите  СD,  если  известно, что АВ=6, AC=2.

Решение: 

По известной теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки, имеем \(CD^2=AC*BA \Rightarrow CD=\sqrt{AC*BA}=4.\)

Ответ 4.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

\(F(x)\) –  первообразная  функции \(f(x)=2x-3\),  причем  ее  график  проходит  через  точку  (3;‐1). Найдите \(F(-3)\). 

Решение: 

Интегрируем функцию, находим первообразную. Константу ищем из условия, что ее график проходит через данную точку.

\(F(x)=x^2-3x+c \Rightarrow -1=9-9+c \Rightarrow c=-1.\\F(-3)=9+9-1=17.\)

Ответ 17.

Другие задачи темы: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите объем правильной  шестиугольной  призмы  \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\),  если  известно,  что  объем  многогранника с вершинами в точках \(E, B_1, A_1, F_1,E_1\) равен 12.

Решение: 

Многогранник является пирамидой. 

Оюбъем пирамиды равен одной шестой объема призмы, так как площадь основания пирамиды равна половине площади основания призмы, а объем пирамиды равен одной третьей произведения площади на длину высоты. Высоты у призмы и пирамиды совпадают. Тогда искомый объем равен \(6*12=72.\)

Ответ 72.

Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(\sqrt2*sin{\pi \over 8}*cos{7\pi \over 8}.\)

Решение: 

Применим формулу синуса двойного угла и формулу приведения, тогда получим \(\sqrt2*sin{\pi \over 8}*cos{7\pi \over 8}=-{\sqrt2\over 2}*sin{\pi \over 8}*cos{\pi \over 8}=-{\sqrt2\over 2}*sin{\pi \over 4}=\\=-{\sqrt2\over 2}*{\sqrt2\over 2}=-0.5.\)

Ответ -0.5.

Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?