Решения задач из варианта № 165 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

При  оплате  услуг  через  платежный  терминал  взимается  комиссия  25%.  Терминал   принимает  суммы  кратные  10  рублям. Отправляясь  в круиз, Марина  хочет  положить  на счёт своего мобильного телефона не менее 500 рублей. Какую минимальную сумму  она должна внести в приёмное устройство данного терминала? 

Решение: 

Марине нужно положить \(500/0.75=670\) рублей. При расчете было выполнено округление до 10 руб.

Ответ 670.

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна \(I={\epsilon \over R+r}\),  где \(\epsilon\) – ЭДС источника (в вольтах),\(r=2.4\) Ом  –  его  внутреннее сопротивление, \(R\) –  сопротивление  цепи  (в  омах).  При  каком  наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 24% от силы тока короткого замыкания \(I_{к.з.}={\epsilon \over r}\)?  (Ответ выразите в омах).

Решение: 

Подставим все известные в формулу для силы тока и найдем неизвестное сопротивление \(0.24*{\epsilon \over 2.4}={\epsilon \over R+2.4} \Rightarrow R+2.4=10 \Rightarrow R=7.6.\)

Ответ 7.6.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Отец и сын должны вскопать огород. Производительность работы у отца в три раза меньше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать огород за 3 часа. Однако  вместе они проработали только один час, потом некоторое время работал один отец, а заканчивал работу один сын. Сколько времени в общей сложности проработал отец, если вся работа на огороде была выполнена за 7 часов?

Решение: 

Обозначим за \(x\) производительность отца, тогда производительность сына будет равна \(3x\).

Составим первое уравнение из условия, что работая вместе, они вскопают огород за 3 часа (всю работу обозначим за единицу).

\({1\over x+3x}=3 \Rightarrow x=1/12.\)

Тогда производительность сына равна \(3/12.\)

Второе уравнение составим из условия, вместе они проработали только один час, выполнив при этом третью часть работы, потом некоторое время работал один отец, а заканчивал работу один сын. В итоге они полностью вскопали огород. Обозначим за \(t_1\) время, которое работал один отец, а за \(t_2\) время, в течение которого работал один сын.

Тогда уравнение запишем в виде (всю работу так же обозначим за единицу): \({1\over 3}+{1\over12}*t_1+{3\over 12}*t_2=1 \Rightarrow t_1+3t_2=8.\)

Третье уравнение составим из условия, что когда они копали огород, то они работали 7 часов, то есть, \(1+t_1+t_2=7 \Rightarrow t_2=6-t_1.\)

Тогда подставим это выражение во второе уравнение и получим уравнение относительно \(t_1:\) \(t_1+18-3t_1=8 \Rightarrow t_1=5.\)

Тогда в общей сложности отец работал 6 часов, так как они вместе работали в течение первого часа.

Ответ 6.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите минимум функции \(f(x)={x^3+4\over x^2}.\)

Решение: 

Находим производную функции \(f^\prime=f(x)={3x^2*x^2-2x*(x^3+4)\over x^4}={x^3-8\over x^3}.\)

Далее приравниваем производную нулю и находим критические точки, которые затем проверяем на экстремум.

\(f^\prime=0 \Rightarrow x=2.\)

Выясняем, что точка \(x = 2\) точка минимума, так как в ней равна нулю производная и при переходе через нее она меняет свой знак с отрицательного на положительный.

Тогда \(min f(x)=f(2)=3.\)

Ответ 3.

Другие задачи темы: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите косинус угла между векторами \(a(1; 3), b(-3; -1).\)

Решение: 

Воспользуемся определениями скалярного произведения векторов, тогда косинус будет равен \(cos\phi={a*b\over |a|*|b|}={1*(-3)+3*(-1)\over \sqrt{1^2+3^2}*\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}}=-0.6.\)

Ответ -0.6.

Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Вероятность того, что новая «Волга» в течение года поступит в гарантийный ремонт,  равна  0,2.  В  городе  Сочи  из  400  проданных  «Волг»  в  течение  года  в  гарантийную  мастерскую  поступил  91  автомобиль.  На  сколько  отличается  частота  события  «гарантийный  ремонт» от его вероятности в городе Сочи?

Решение: 

Частота события "гарантийный ремонт" в Сочи равна \({91\over 400}=0.2275\) и отличается на 0.0275.

Ответ 0.0275

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \({x+4\over x-3}={x-8\over x+6}.\)

Решение: 

\({x+4\over x-3}={x-8\over x+6} \Rightarrow x^2+10x+24=x^2-11x+24 \Rightarrow x=0.\)

Ответ 0.

Другие задачи темы: 

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Четырехугольник  АВDС вписан  в  окружность.  Известно,  что  угол CDB раевн 82 градусам, угол BAD равен 48 градусам.  Найдите угол CAD .  Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

Перечисленные углы вписанные, они равны половине градусных мер дуг окружности, на которые они описаются.

Сумма углов вписанного четырехугольника ABCD равна 360 градусам.

Тогда \({<}CAD=180^o-{<}CDB-{<}BAD=50^o.\)

Ответ 50.

 

 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Функция \(y=f(x)\) определена  на  отрезке \([-2; 4]\).  На  рисунке  дан  график  её  производной.  Найдите  абсциссу  точки графика функции \(y=f(x)\), в которой она принимает  наименьшее значение на отрезке \([-2; -0.001].\)

Решение: 

Так как производная функции \(y=f(x)\) на отрезке отрицательна, то на нем функция убывает, а значит наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, то есть, в точке -0.001.

Ответ -0.001.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Объем  фужера,  имеющего  форму  конуса,  равен  20  мл.  Родители  налили  полный  фужер  микстуры  и  уговорили  несговорчивого  Серёжу  выпить  хотя  бы  «половину»,  т.е.  чтобы  после  этого  оставшийся  уровень  жидкости  составил \({1\over 2}\) высоты.  Сколько миллилитров микстуры выпил Серёжа? 

Решение: 

Так как высоты конусов относятся 1 к 2 по условию, то и радиусы конусов (первоначальный и тот, который получился после того, как Сережа выпил микстуру) относятся как 1 к 2. Следовательно, площади оснований конусов относятся, как 1 к 4 (как квадраты радиусов). Тогда объемы микстуры, которая была в фужере, и которая осталась в фужере, относятся как 1 к 8. Другими словами, в фужере осталась \({1\over 8}\) часть микстуры, то есть, Сережа выпил \({7\over 8}*20=17.5\) мл микстуры.

Ответ 17.5.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \({\sqrt [3]{ 2}-\sqrt [3]{54}\over \sqrt [3]{ 250}}.\)

Решение: 

\({\sqrt [3]{ 2}-\sqrt [3]{54}\over \sqrt [3]{ 250}}={\sqrt [3]{ 2}-3\sqrt [3]{2}\over 5\sqrt [3]{ 2}}={1-3\over 5}=-0.4.\)

Ответ -0.4.

Другие задачи темы: 

Задние 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Турист в  условиях  высокогорья  кипятит  воду  в  электрическом  чайнике.  После  закипания воды чайник автоматически отключается. Этот процесс показан на графике.  На  оси  абсцисс  откладывается  время  в  минутах,  прошедшее  с  момента  включения  чайника  в  розетку,  на  оси  ординат  –  температура  воды  в  градусах  Цельсия.  Определите по графику, на сколько градусов остынет вода в чайнике через 2 минуты  после его отключения.  

Решение: 

Судя по графику, вода остынет с 90 до 80 градусов, то есть, на 10 градусов.

Ответ 10.

Рисунок: