Решения задач из варианта № 169 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 В салоне «Евросеть» Антон собирается заплатить 350 рублей за интернет, положить  по 50 рублей на телефон себе, маме и младшему брату, а также купить наушники для  мобильного  телефона  за  450  рублей.  Сколько  рублей  сдачи  получит  Антон,  если  рассчитается за все это 1000‐рублевой купюрой?  

Решение: 

Антон получит сдачи \(1000-350-150-450=50\) рублей.

Ответ 50.

Другие задачи темы: 

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 При адиабатическом процессе для некоторого газа выполняется закон \(pV^k=const\),  где \(p\) –  давление  газа  в  паскалях, \(V\) –  объём  газа  в  кубических  метрах.  В  ходе  эксперимента с этим газом (для него k=1,5) из начального состояния, в котором \(const=10^5\) Па∙м5,  газ  начинают  сжимать.  Какой  наибольший  объём \(V\) может  занимать  газ  при давлениях \(p\) не ниже 1,25∙107 Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Решение: 

Поставим все известные в формулу и найдем искомый объем \(1.25*10^7*V^{3\over 2}=10^5 \Rightarrow V^{3\over 2}=1/125 \Rightarrow V=0.04\) м3.

Ответ 0.04.

Другие задачи темы: 

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Имеются два раствора с разным процентным содержанием соли. Если смешать 1  кг  первого  раствора  и  3  кг  второго,  то  полученный  раствор  будет  содержать  32,5%  соли.  Если  смешать  3,5  кг  первого  раствора  и  4  кг  второго,  то  полученный  раствор  будет  содержать  26%  соли.  Каким  будет  процентное  содержание  соли  в  растворе,  если смешать равные массы первого и второго растворов?

Решение: 

Обозначим процентные содержания соли в растворах через \(x, y.\)

Тогда составим уравнения из условий задачи (приравняем просуммированное кол-во соли в каждом из смешиваемых растворов с кол-вом соли в итоговом растворе для каждого из случаев):

\(x+3y=130,\\3.5x+4y=195.\)

Решим уравнения в системе, для чего умножим первое на 3.5 и вычтем из него второе, исключив из уравнения \(x.\) Получим \((10.5-4)y=260 \Rightarrow y=40 {\%}.\)

Тогда \(x=130-3*40=10{\%}.\)

Тогда если взять одно и то же количество обоих растворов и смешать их, то получится раствор с содержанием соли 25%.

Ответ 25.

Другие задачи темы: 

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите точку максимума функции \(f(x)=(x^2-7x-4)e^{0.5x}.\)

Решение: 

Находим производную, приравниваем нулю и находим критические точки, которые затем проверяем на экстремум.

\(f^\prime = e^{0.5x}(2x-7+0.5x^2-0.5*7x-0.5*4)=e^{0.5x}(0.5x^2-1.5x-9) \Rightarrow \\ \Rightarrow f^\prime=0 \Rightarrow x^2-3x-18=0 \Rightarrow x=-3, x=6.\)

Точкой максимума является точка \(x = -3,\) так как в ней производная равна нул, а при переходе через нее меняет свой знак с + на -.

Ответ -3.

Другие задачи темы: 

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

 На графике приведена зависимость высоты h (в метрах), брошенного вверх тела, от  времени t (в секундах). Определите, через сколько секунд после начала падения тело окажется на высоте 10 метров. 

Решение: 

Это произойдет через 3 секунды.

Ответ 3.

Рисунок: 

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

На рисунке клетка имеет размер 1см х 1см.   Найдите площадь трапеции АРКВ. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Решение: 

Искомая площадь равна \(S_{APKB}=S_{ABC}-S_{CPK}=0.5*AB*H-0.5*PK*h.\)

Из подобия треугольников имеем \(PK/AB=h/H \Rightarrow PK=21/5.\)

Тогда \(S_{APKB}=0.5*7*5-0.5*3*21/5=11.2.\)

Ответ 11.2.

 

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Гольфист  на  тренировке  пытается  за  пять  ударов  закрыть  лунку  (попасть  мячом  в  специальную ямку в земле). Вероятность попадания в лунку при первом ударе равна 0,1,  при  втором  –  0,3,  при  третьем  –  0,5,  при  четвертом  –  0,8,    при  пятом  –  0,9.  Какова  вероятность того, что гольфист сумеет закрыть лунку за пять или менее ударов?

Решение: 

Вероятность того, что гольфист не сумеет закрыть лунку (так как события являются независимыми) равна \(P_1=(1-0.1)*(1-0.3)*(1-0.5)*(1-0.8)*(1-0.9)=0.0063.\)

Тогда искомая вероятность равна \(P=1-P_1=0.9937.\)

Ответ 0.9937.

Другие задачи темы: 

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите корень уравнения \(\sqrt [5] {1-10x}=10.\)

Решение: 

\(\sqrt [5] {1-10x}=10 \Rightarrow 1-10x=100000 \Rightarrow x=-9999,9.\)

Ответ -9999.9.

Другие задачи темы: 

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Функция \(y=f(x)\) определена  на  промежутке  [‐4;  4].  На  рисунке  приведен  график  её  производной.  Найдите  количество точек графика функции \(y=f(x)\),  касательная  в  которых  образует  с положительным направлением оси Ох угол  45 градусов. 

Решение: 

Таких точек 3 штуки, они отмечены красным на рисунке. В них производная, то есть коэффициент наклона касательной, равен 1.

Ответ 3.

Рисунок: 

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  конус  вписан  цилиндр  так,  что  его  нижнее  основание  лежит  в  плоскости  основания  конуса,  а  верхнее  касается  каждой  образующей  конуса  и  пересекает  высоту  конуса  в  его  середине.  Найдите  объем  конуса,  если  объем  цилиндра  равен 45.

Решение: 

Имеем соотношение радиусов илиндра и конуса, а также соотношение их высот (из подобия треугольников в сечении конуса): \(r:R=1:2, h:H=1:2.\)

Тогда запишем формулу для объема конуса \(V_k={1\over 3}\pi R^2H={1\over 3}\pi (2r)^2*(2*h)={8\over 3}\pi r^2h={8\over 3}*45=120.\)

Ответ 120.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Найдите значение выражения \(log_9 7*log_7 5*log_5 3.\)

Ответ 0.5.

Решение: 

\(log_9 7*log_7 5*log_5 3=0.5*log_37*{log_35\over log_3 7}*{1\over log_3 5}=0.5.\)

Ответ 0.5.

Другие задачи темы: 

Здание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В  равнобедренную  трапецию  АВСD  вписана  окружность.  Найдите  высоту  трапеции, если ВС=9,   АD=25. 

Решение: 

Так как в трапеию вписана окруность, то \(AB+CD=BC+AD \Rightarrow AB=17.\)

Далее имеем \(AP=(AD-BC)/2=8.\) Тогда \(h=\sqrt{AB^2-AP^2}=15.\)

Ответ 15.

Рисунок: 
Другие задачи темы: 

Новые задачи на сайте

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  v = 3 м/с  под  острым  углом  α  к  рельсам.  От  толчка  платформа  начинает  ехать  со  скоростью \(u={m\over m+M}v*cos\alpha\), где \(m=80\) кг - масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=400\) кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах)  нужно  прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?