Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Площадь треугольника АВС равна 12. Найдите площадь треугольника МРК, если известно, что АМ : ВМ = ВР : СР = СК : АК = 1 : 2. 

Решение: 

Несложно заметить, что в данном случае площадь малого треугольника будет равна \(1/3\) площади большего треугольника, то есть, будет равна 4.

Покажем это. Воспользуемся формулой площади треугольника через половину произведения длин двух сторон и синуса угла между ними. Тогда можно записать, что 

\(S_{AMK}=S_{ABC}*{1\over 3}*{2\over 3}=S_{BMP}=S_{CKP}={8\over 3}.\) Здесь отметим, что синусы углов малых треугольников и большого треугольника совпадают, так как углы совпадают, а, например, \(AM={1\over 3}AB, AK={2\over 3}AC.\)

Тогда имеем \(S_{MPK}=S_{ABC}-S_{AMK}-S_{BMP}-S_{CKP}=4.\)

Ответ 4.

Рисунок: