Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

Радиус основания конуса равен, а высота 4. Центр шара совпадает с центром основания конуса и касается боковой поверхности конуса. Найдите отношение объемов шара и конуса.

Решение: 

Рассмотрим сечение и треугольник в нем.

Он прямоугольный, его катеты равны высоте и радиусу основания конуса, а его высота - радиус шара.

Тогда гипотензу этого треугольника равна 5.

Рассмотрим подобие двух прямоугольных треугольников. Обозначим через \(R\) - радиус шара. Тогда

\({R\over 4}={3\over 5}\\R={4*3\over 5}.\)

Объем шара равен  \(V_1={4\over 3}\pi R^3={4\over 3}\pi {4^3*3^3\over 5^3}.\)

Объем конуса равен \(V_2={1\over 3}*\pi r^2*h={1\over 3}\pi 3^2*4.\)

Запишем отношение объемов шара и конуса

\({V_1\over V_2}={4/3*\pi* 4^3*3^3\over 1/3*\pi*3^2*4}=1.536.\)

Ответ 1.536.

Рисунок: