Решения задач из варианта № 130 с сайта alexlarin.net

Для решения задачи вспомним формулу площади круга: \(S=\pi r^2.\) Тогда сразу запишем решение \({{\pi *20^2-10*\pi *5^2}\over \pi *20^2}*100=37.5.\)

Ответ 37.5.

Выделим в правой части полный квадрат: \(x^2+6x+10=x^2+2*3*x+9-9+10=(x+3)^2+1.\) Таким образом, имеем \((x+3)^2+1>=1\) при любых \(x.\) При этом из определения синуса имеем: \(|sinx|<=1.\) Решение уравнения будет только тогда, когда \((x+3)^2+1=1.\) То есть, \(x=-3.\)

При решении уравнения \(sin{\pi x \over 2}=1\) имеем \({\pi x \over 2}={\pi \over 2}+2\pi n \Rightarrow x=1+4n, n-\) целое. Тогда, перебирая, целые \(n\), находим \(x=-3 при n=-1.\)

Ответ -3.

Сначала находим АС, потом проводим третью медиану и понимаем, что она является и медианой треугольника AQC, который является прямоугольным. А в таких треугольниках медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Есть второй способ - в лоб. Находим длины всех сторон и далее по формуле считаем длину медианы. Но этот способ более длинный и не такой красивый, как первый. Воспользуемся первым способом.

AC можно найти довольно легко из прямоугольного треугольника AQC по теореме Пифагора. При этом длины его катетов легко находятся, зная, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины. Тогда \(AC=\sqrt{6^2+8^2}=10.\) Тогда третья часть искомой медианы равна 5, а вся медиана, проведенная из вершины B, равна 15.

Ответ 15.

Сделаем замену: \(y=2^x\), тогда \(y\geq1.\) Уравнение примет вид: \(sin y=1 \Rightarrow y= \pi/2+2\pi k, k\in Z\), а неравенство примет вид: \(|y-1|+|y-8|\leq7.\) Первый модуль всегда раскрывается положительно,  при \(y\leq 8\) второй модуль раскрывается отрицательно, но тогда неравенство верно, а значит рассмотрим случай при \(y> 8\), неравенство примет вид: \(y-1+y-8\leq7\Rightarrow y\leq8.\) Получаем, что \(1\leq y\leq 8 \iff 1\leq \pi/2+2\pi k\leq 8\).  Двойное неравенство верно при k=0 и k=1, учитывая замену,получаем , что \(x = log_2 \pi/2\) и \(x = log_2 5\pi/2\).

Ответ:\(x = log_2 \pi/2\), \(x = log_2 5\pi/2\)

Подставим известные величины в определяющее соотношение и найдем искомое время:

 \(2000=1200+48t-0.4t^2 \Rightarrow 0.4t^2-48t+800=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow t^2-120t+2000=0 \Rightarrow t=20, t=100.\)

Время \(t=100\) не берем, так как зависимость температуры от времени - парабола, ветви которой направлены вниз, максимум будет достигаться после набора прибором температуры \(2000\). После этого температура начнет падать и снова достигнет 2000 градусов. Поэтому имеем два решения, но нас удовлетворяет только одно.

Ответ 20.

Данное выражение представляет собой сумму длин радиусов окружностей с центрами в точках \((1; 5), (9; -10),\) то есть \(\sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-9)^2+(y+10)^2}=r_1+r_2.\)

Наименьшее значение будет при ситуации, когда окружности касаются друг друга, так как кратчайшее расстояние между двумя точками - это прямая. Данная задача проиллюстрирована на рисунке.

Наименьшее расстояние обозначено красной линией и равно \(\sqrt{8^2+15^2}=17.\)

Ответ 17. 

Решение во вложении. Источник - alexlarin.com

Решение во вложении.

Источник - alexlarin.com.