Решения задач из варианта № 139 с сайта alexlarin.net

Задание 1

Номер варианта сайта alexlarin.net:

Условие:

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 9%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Виктор хочет положить на счёт своего мобильного телефона не менее 340 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в данный терминал?

Решение:

Виктору нужно заплатить \(340*1.09=370.6\) рублей.

Ответ 380.

Другие задачи темы:

математика

Задание 10

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону \(l=l_0\sqrt{1-{v^2\over c^2}}\), где l0=5 м – длина покоящейся ракеты, с = 3∙105 км/с – скорость света, а v – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Решение:

Выразим неизвестную скорость из данного выражения и подставим в него все известные величины.

\(4=5\sqrt{1-{v^2\over c^2}} \Rightarrow {v^2\over c^2}=9/25 \Rightarrow v=3c/5=180000\) км/с.

Ответ 180000.

Другие задачи темы:

физика

Задание 11

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Из первого условия составляем первое уравнение, а из второго - второе уравнение. Обозначим через \(x\) - скорость первого, а через \(y\) - скорость второго. Тогда имеем первое уравнение: \({60*3\over x}+{10\over 60}={60*3 \over y}.\)

Второе уравнение (первый обогнал второго на круг уже через 15 минут после старта): \((x-y){15\over 60}=3.\) Из второго уравнения выражаем \(x=y+12\) и подставляем в первое уравнение. В итоге имеем квадратное уравнение \(y^2+12y-12960=0\) с единственным положительным корнем \(y=108.\)

Ответ 108.

Другие задачи темы:

текстовая задача

Задание 12

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Найдите наименьшее значение функции \(f(x)={2\over 3}x^{3\over 2}-3x+1\) на отрезке \([1; 9].\)

Решение:

Ищем производную, приравниваем нулю и находим критические точки. Ищем значения функции в критических точках (если они попадают в интересующий отрезок) и в концах отрезка. Выбираем наименьшее значение из получившихся.

\(f\prime(x)=\sqrt x-3 \Rightarrow \sqrt x=3 \Rightarrow x=9.\)

\(f(1)=-{4\over 3},\\f(9)=-8.\)

Ответ -8.

Другие задачи темы:

наименьшее значение функции

Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Дано уравнение \(\sqrt{12*2^{sinx}-4}=3*2^{sinx}\)

а) решите уравнение.

б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\pi;{\pi \over 2} ].\)

Решение:

Делаем замену \(y=2^{sinx}.\) Возводим в квадрат уравнение, получаем квадратное уравнение \(9y^2-15y+4=0.\) Его корни \(y=4/3, y=1/3.\) Оба проходят в ОДЗ.

Далее возвращаемся в первоначальной переменной \(x.\) Второй корень не подходит, так как \(|sinx|<=1.\) Тогда имеем решение

а) \(x=(-1)^narcsin(log_2{4\over 3})+\pi n, n -\)целое.

б) \(-arcsin(log_2{4\over 3}).\)

Ответ

а) \(x=(-1)^narcsin(log_2{4\over 3})+\pi n, n -\)целое.

б) \(arcsin(log_2{4\over 3}).\)

Другие задачи темы:

тригонометрия

Задание 2

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

На графике показан процесс разогрева двигателя автомобиля LADA Kalina при температуре окружающего воздуха 8°С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут прошло с момента запуска двигателя до включения вентилятора?

Решение:

По графику - 8 минут.

Ответ 8.

Рисунок:

Другие задачи темы:

работа с графиками и диаграммами

Задание 3

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите косинус большего угла треугольника АВС.

Решение:

\(cos(ACB)=cos(180^o-{<}ACK)=-cos(ACK)=-4/5=-0.8.\)

Отвте -0.8.

Рисунок:

Другие задачи темы:

тригонометрия

планиметрия

Задание 4

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Витя дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало менее 10 очков. Найдите вероятность того, что ни при одном из бросков не выпало 6 очков.

Решение:

Всего возможно 36 различных вариантов сочетания цифр при кидании двух кубиков. Среди них только 30 штук в сумме дадут менее 10 очков.

Более 10 очков будет при выпадании:

6 и 6, 5 и 6, 6 и 5, 4 и 6, 6 и 4, 5 и 5.

Среди этих 30-ти только в 6-ти случаях будет содержаться цифра 6: 1 и 6, 6 и 1, 2 и 6, 6 и 2, 3 и 6, 6 и 3.

Тогда искомая вероятность равна (по классическому определению): \(P={30-6\over 30}=0.8.\)

Ответ 0.8.

Другие задачи темы:

теория вероятностей

Задание 5

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Найдите корень уравнения \((2\sqrt2)^{2x+1.6}={1\over 64}.\)

Решение:

\((2\sqrt2)^{2x+1.6}={1\over 64} \Rightarrow 2^{1.5(2x+1.6)}=2^{-6} \Rightarrow \\ \Rightarrow 2^{3x+2.4}=2^{-6} \Rightarrow 3x+2.4=-6 \Rightarrow x=-2.8.\)

Ответ -2.8.

Другие задачи темы:

показатель степени

Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Найдите диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 24 и боковой стороной 13.

Решение:

На рисунке зеленым отмечены радиусы окружности, а красным - высота равнобедренного треугольника.

Угол \(\alpha\) обозначен через a. Из прямоугольного треугольника имеем \(cos\alpha={6.5 \over r}.\) С другой стороны \(cos\alpha=5/13.\) Тогда найдем радиус и диаметр окружности \(d=2r={6.5 \over cos\alpha}=33.8.\)

Ответ 33.8.

Рисунок:

Другие задачи темы:

планиметрия

описанная окружность

Задание 7

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Вычислите \(\int _{-4}^4f(x)dx, f(x)=2-{|x|\over 2}.\)

Решение:

Вычислим интеграл как площадь под кривой. Если изобразить график подынтегральной функции, то получим равнобедренный треугольник, площадь которого равна 8.

Треугольник получаем при раскрытии модуля и изображении на координатной плоскости двух прямых.

Из геометрического смысла интеграла имеем, что определенный интеграл являет собой площадь.

Ответ 8.

Другие задачи темы:

интеграл

планиметрия

Задание 8

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Найдите объём указанного многогранника. Все двугранные углы прямые.

Решение:

Здесь все просто. Разбиваем фигуру на два прямугольных параллелепипеда. Имеем \(V=9*4*2+3*3*4=108.\)

Ответ 108.

Рисунок:

Другие задачи темы:

объемы фигур

стереометрия

Задание 9

Номер варианта сайта alexlarin.net:

139

Условие:

Вычислите \(3.2*cos36^o*cos72^o.\)

Решение:

Умножим и разделим выражение на \(sin36^o.\) Тогда получим \({3.2*cos36^o*cos72^o*sin36^o\over sin36^o}={1.6sin72*cos72\over sin36}=\\={0.8sin144\over sin36}={0.8sin(180-36)\over sin36}=0.8.\)

При вычислении пользовались формулой синуса двойного угла и формулой приведения.

Ответ 0.8.

Другие задачи темы:

тригонометрия

формулы приведения