При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 9%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Виктор хочет положить на счёт своего мобильного телефона не менее 340 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в данный терминал?
Виктору нужно заплатить \(340*1.09=370.6\) рублей.
Ответ 380.
При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону \(l=l_0\sqrt{1-{v^2\over c^2}}\), где l0=5 м – длина покоящейся ракеты, с = 3∙105 км/с – скорость света, а v – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.
Выразим неизвестную скорость из данного выражения и подставим в него все известные величины.
\(4=5\sqrt{1-{v^2\over c^2}} \Rightarrow {v^2\over c^2}=9/25 \Rightarrow v=3c/5=180000\) км/с.
Ответ 180000.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Из первого условия составляем первое уравнение, а из второго - второе уравнение. Обозначим через \(x\) - скорость первого, а через \(y\) - скорость второго. Тогда имеем первое уравнение: \({60*3\over x}+{10\over 60}={60*3 \over y}.\)
Второе уравнение (первый обогнал второго на круг уже через 15 минут после старта): \((x-y){15\over 60}=3.\) Из второго уравнения выражаем \(x=y+12\) и подставляем в первое уравнение. В итоге имеем квадратное уравнение \(y^2+12y-12960=0\) с единственным положительным корнем \(y=108.\)
Ответ 108.
Найдите наименьшее значение функции \(f(x)={2\over 3}x^{3\over 2}-3x+1\) на отрезке \([1; 9].\)
Ищем производную, приравниваем нулю и находим критические точки. Ищем значения функции в критических точках (если они попадают в интересующий отрезок) и в концах отрезка. Выбираем наименьшее значение из получившихся.
\(f\prime(x)=\sqrt x-3 \Rightarrow \sqrt x=3 \Rightarrow x=9.\)
\(f(1)=-{4\over 3},\\f(9)=-8.\)
Ответ -8.
Дано уравнение \(\sqrt{12*2^{sinx}-4}=3*2^{sinx}\)
а) решите уравнение.
б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\pi;{\pi \over 2} ].\)
Делаем замену \(y=2^{sinx}.\) Возводим в квадрат уравнение, получаем квадратное уравнение \(9y^2-15y+4=0.\) Его корни \(y=4/3, y=1/3.\) Оба проходят в ОДЗ.
Далее возвращаемся в первоначальной переменной \(x.\) Второй корень не подходит, так как \(|sinx|<=1.\) Тогда имеем решение
а) \(x=(-1)^narcsin(log_2{4\over 3})+\pi n, n -\)целое.
б) \(-arcsin(log_2{4\over 3}).\)
Ответ
а) \(x=(-1)^narcsin(log_2{4\over 3})+\pi n, n -\)целое.
б) \(arcsin(log_2{4\over 3}).\)
На графике показан процесс разогрева двигателя автомобиля LADA Kalina при температуре окружающего воздуха 8°С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут прошло с момента запуска двигателя до включения вентилятора?
По графику - 8 минут.
Ответ 8.
На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите косинус большего угла треугольника АВС.
\(cos(ACB)=cos(180^o-{<}ACK)=-cos(ACK)=-4/5=-0.8.\)
Отвте -0.8.
Витя дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало менее 10 очков. Найдите вероятность того, что ни при одном из бросков не выпало 6 очков.
Всего возможно 36 различных вариантов сочетания цифр при кидании двух кубиков. Среди них только 30 штук в сумме дадут менее 10 очков.
Более 10 очков будет при выпадании:
6 и 6, 5 и 6, 6 и 5, 4 и 6, 6 и 4, 5 и 5.
Среди этих 30-ти только в 6-ти случаях будет содержаться цифра 6: 1 и 6, 6 и 1, 2 и 6, 6 и 2, 3 и 6, 6 и 3.
Тогда искомая вероятность равна (по классическому определению): \(P={30-6\over 30}=0.8.\)
Ответ 0.8.
Найдите корень уравнения \((2\sqrt2)^{2x+1.6}={1\over 64}.\)
\((2\sqrt2)^{2x+1.6}={1\over 64} \Rightarrow 2^{1.5(2x+1.6)}=2^{-6} \Rightarrow \\ \Rightarrow 2^{3x+2.4}=2^{-6} \Rightarrow 3x+2.4=-6 \Rightarrow x=-2.8.\)
Ответ -2.8.
Найдите диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 24 и боковой стороной 13.
На рисунке зеленым отмечены радиусы окружности, а красным - высота равнобедренного треугольника.
Угол \(\alpha\) обозначен через a. Из прямоугольного треугольника имеем \(cos\alpha={6.5 \over r}.\) С другой стороны \(cos\alpha=5/13.\) Тогда найдем радиус и диаметр окружности \(d=2r={6.5 \over cos\alpha}=33.8.\)
Ответ 33.8.
Вычислите \(\int _{-4}^4f(x)dx, f(x)=2-{|x|\over 2}.\)
Вычислим интеграл как площадь под кривой. Если изобразить график подынтегральной функции, то получим равнобедренный треугольник, площадь которого равна 8.
Треугольник получаем при раскрытии модуля и изображении на координатной плоскости двух прямых.
Из геометрического смысла интеграла имеем, что определенный интеграл являет собой площадь.
Ответ 8.
Найдите объём указанного многогранника. Все двугранные углы прямые.
Здесь все просто. Разбиваем фигуру на два прямугольных параллелепипеда. Имеем \(V=9*4*2+3*3*4=108.\)
Ответ 108.
Вычислите \(3.2*cos36^o*cos72^o.\)
Умножим и разделим выражение на \(sin36^o.\) Тогда получим \({3.2*cos36^o*cos72^o*sin36^o\over sin36^o}={1.6sin72*cos72\over sin36}=\\={0.8sin144\over sin36}={0.8sin(180-36)\over sin36}=0.8.\)
При вычислении пользовались формулой синуса двойного угла и формулой приведения.
Ответ 0.8.
