Сегодня в зоомагазине по акции продается корм для кошек «Whiskas» со скидкой 30%. Сколько стоил один пакетик «Whiskas» до акции, если сегодня шесть таких пакетиков можно было купить за 105 рублей? Ответ дайте в рублях.
Стоимость одного корма сос кидкой равна \(105/6=17.5\) рублей.
Тогда без 30% скидки корм стоил \({17.5*100\over 70}=25\) рублей.
Ответ 25.
При вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости вода не выливается из него, если сила её давления на дно ведёрка неотрицательна во всех точках траектории. В верхней точке траектории сила давления воды на дно минимальна и равна \(P=m({v^2\over L}-g)H\), где m – масса воды в кг, v – скорость движения ведёрка в м/с, L – длина веревки в метрах, g = 10 м/с2 – ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью v надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась из него, если длина веревки равна 57,6 см? Ответ дайте в м/с.
По условию должно выполняться соотношение \(m({v^2\over L}-g)H>=0.\) Отсюда находим неизвестную минимальную скорость, которая равна 2.4 м/с.
\(m({v^2\over L}-g)H>=0 \Rightarrow {v^2\over L}-g>=0 \Rightarrow v>=\sqrt{g*L}.\) Здесь берем только один интервал, так как скорость - величина неотрицательная.
Ответ 2.4.
Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить, а к третьему прибавить сумму двух первых, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
Пусть первое число равно \(x,\) тогда из первого свойства имеем три числа, которые образуют арифметическую прогрессию: \(x, x+d, x+2d.\)
Согласно второму условию имеем три другие числа, образующие геометрическую прогрессию: \(x, x+d, 3x+3d.\) Из свойства прогрессии имеем \((x+d)q=3x+3d \Rightarrow q=3.\)
Ответ 3.
Найдите точку минимума функции \(f(x)={(x^3+x^2)(x^2-2)\over 2x+2}-2.\)
Упростим функцию \(f(x)={(x^3+x^2)(x^2-2)\over 2x+2}-2={x^4(x+1)-2x^2(x+1)\over 2x+2}-2=\\=0.5x^4-x^2-2.\)
Далее находим производную, ищем критические точки и выбираем среди них точку минимумам. Заметим, что точка -1 не будет точкой минимума, так как не входит в ОДЗ первоначальной функции.
Остальные выкладки предлагается сделать самостоятельно.
Ответ 1.
Даной уравнение \({1-4cosx\over 3+4cosx}=tg^2x.\)
а) решите уравнение
б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \(({3\pi \over 4}; 3\pi).\)
Решение во вложении.
Источник - Alexlarin.com.
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость β.
А) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью АВС.
Б) Найдите площадь сечения призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью β, если известно, что ребро призмы равно 6.
Рещение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Решите неравенство \(log_x(log_2(4^x-16))<=1.\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
В ромб вписана окружность Θ. Окружности w1 и w2 (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности Θ и двух соседних сторон ромба. А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью Θ, составляет менее 80% площади ромба. Б) Найдите отношение радиусов окружностей w1 и w2, если известно, что диагонали ромба относятся, как 1:2.
Решение от egetrener.
Эльвира взяла в кредит 1 млн. рублей на срок 36 месяцев. По договору она должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Эльвирой банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Эльвирой, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько тысяч рублей больше Эльвира выплатит банку в течение первого года кредитования, нежели в течение третьего года?
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение \(log_3(ax^3+a)-2log_3\sqrt{x+1}=log_3x\) имеет хотя бы один действительный корень.
Решение во вложении.
Источник alexlarin.com.
А) В клетках таблицы 3х3 расставлены числа ‐4, ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3, 4. Рассмотрим восемь сумм: суммы трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы оказаться одинаковыми? Б) В клетках таблицы 3х3 расставлены числа –1, 0 и 1 (каждое из этих чисел встречается хотя бы один раз). Рассмотрим восемь сумм: суммы трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы оказаться различными? В) В клетках таблицы 3х3 расставлены девять различных натуральных чисел. Рассмотрим восемь произведений: произведения трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти произведения оказаться одинаковыми?
Решение во вложении.
Решение от egetrener.
На графике показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали – удельная теплоёмкость в \({Дж\over кг*^oC}\). Определите по рисунку, на сколько изменится удельная теплоемкость при нагревании раствора с 20° до 100°. Ответ дайте в \({Дж\over кг*^oC}\).
Из графика видно, что разность составляет 10 \({Дж\over кг*^oC}\).
Ответ 10.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке.
Четырехугольник составлен из квадрата и двух прямоугольных треугольников. Тогда искомая площадь равна \(S=2*2+0.5*2*2+0.5*3*4=12.\)
Ответ 12.
По преданию, когда‐то среди юношей существовало гадание. Один из парней зажимал в руке 10 стальных прутиков так, чтобы их концы торчали сверху и снизу, а другой юноша связывал эти прутики попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все десять прутиков оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что юноша в текущем году женится. Какова вероятность того, что связанные прутики будут образовывать кольцо? Ответ округлите до сотых.
Пронумеруем прутики от 1 до 10.
На рисунке прутики показаны зелеными линиями, а связи между ними - красными.
Пусть мы связали попарно прутики вверху. Получили 5 пар.
Задача состоит в том, чтобы каждый прутик был связан внизу не с тем, с которым он связан вверху.
Например, если мы сверху связали первый и второй прутик, то внизу они не должны быть связаны, иначе общего кольца из всех 10 прутиков не получится.
Тогда вероятность считается просто.
Вероятность того, что первый прутик будет связан внизу не со вторым равна \(P_1={8\over 9},\) так как первый прутик можно связать с любым из девяти, но нужно только с одним из восьми.
Приведем пример. Пусть связали внизу 1 и 10 прутики, как на рисунке.
Тогда прутик номер 2 мы можем внизу связать с любым, кроме 9-го, чтобы не было замкнутого круга из 1-2-9-10 прутиков. Пусть это будет третий.
Тогда, вероятность этого равна \(P_2={6\over 7}.\)
Далее четвертый прутик мы должны связать с любым, кроме 9-го, так как в противном случае круг замкнется. Пусть это будет пятый.
А шестой можно связать с любым, кроме 9-го, чтобы снова не замкнуть круг. Пусть это будет 7-ой. И так далее.
Итоговую вероятность получаем перемножением \(P=P_1*P_2*P_3*P_4={8\over 9}*{6\over 7}*{4\over 5}*{2\over 3}=0,41\). Здесь округляем до сотых.
Ответ 0.41.
Найдите сумму корней уравнения \(\sqrt [3] {2x-3}=2x-3.\)
\(\sqrt [3] {2x-3}=2x-3 \Rightarrow 2x-3=0, (2x-3)^{2/3}=1.\)
Отсюда имеем три корня.
Из первого уравнения \(x = 1.5.\) Из второго два корня: \(x=1, x=2.\)
Сумма всех корней дает 4.5.
Ответ 4.5.
В ромбе АВСD точки К, Р, M, Е – середины его сторон. Определите угол (в градусах) между диагоналями четырехугольника КРМЕ, если известно, что угол В ромба равен 136о.
Получившийся четырехугольник (который образован диагоналями четырехугольника KPME и половинами сторон ромба) является ромбом. Его стороны равны половинам сторон ромба ABCD.
Тогда угол между диагоналями равен \(180-136=44^0.\)
Покажите это самостоятельно.
Ответ 44.
К графику функции \(y=f(x)\) в точке А(2,5; 1,2) ее графика проведена касательная. Определите ординату точки пересечения касательной с осью Оу, если известно, что значение производной в точке А равно 0,75.
Задача сводится к нахождению свободного члена в уравнении прямой (уравнение касательной) при условии, что угловой коэффициент наклона равен производной в точке касания, а координаты точки касания удовлетворяют уравнению прямой.
Тогда имеем \(y=kx+b \Rightarrow 0.75*2.5+b=1.2 \Rightarrow b=-0.675.\)
Ответ -0.675.
Объем правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое ее боковое ребро увеличили в два раза, а затем каждую сторону каждого основания уменьшили в три раза. Найдите объем полученной призмы.
Объем призмы - площадь основания умножить на высоту. Тогда \(V=S_{осн}H, V_{new}=({1\over 9}S_{осн})(2H)={2\over 9}V=40.\)
Ответ 40.
