Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.
Иван Кузьмич получит \(12500*0.87=10875\) рублей.
Ответ 10875.
На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 8‐го класса по математике в 2007 году (по 1000‐бальной шкале). Найдите средний балл участников страны, занимающей третье место в данном списке.
Это страна Австралия. Средний балл раен 495.
Ответ 495.
На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите площадь трапеции АВСD. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Треугольники на рисунке подобны. Тогда их высоты относятся, как и их основания. Найдем основание малого треугольника.
\({H\over h}={DC\over AB}\Rightarrow AB={DC*h\over H}={6*3\over4}=4.5.\)
Тогда площадь трапеции найдем как разность площадей двух треугольников \(S=0.5*6*4-0.5*4.5*3=12=5.25.\)
Ответ 5.25.
В группе иностранных студентов учится 25 человек, причем каждый из них владеет либо только английским, либо только французским, либо двумя языками: английским и французским. Известно, что английским языком владеют 20 студентов группы, а французским – 13. Найдите вероятность того, что случайно выбранный для участия в конференции студент группы владеет двумя языками.
Студентов, которые знают и тот, и другой язык, всего \(20+13-25=8\) человек.
Тогда искомая вероятность равна \(P=8/25=0.32.\)
Ответ 0.32.
Высота АН равностороннего треугольника АВС равна \(3\sqrt3\). Найдите периметр треугольника АВС.
\(sin{<}C={AH\over a} \Rightarrow a={AH\over sin{<}C}=6.\)
Тогда периметр равен 18.
Ответ 18.
Движение автомобиля во время торможения описывается формулой \(S(t)=36t-5t^2\), где S – путь в метрах, t – время в секундах. Сколько секунд автомобиль будет двигаться с момента начала торможения до его полной остановки?
Скорость автомобиля равна \(v=S^\prime=36-10t \Rightarrow v(t)=0=36-10t \Rightarrow t=3.6.\)
Ответ 3.6.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна \(4\sqrt3\), а боковое ребро равно 5. Найдите синус угла, который образует боковое ребро с плоскостью основания пирамиды.
Высота в треугольнике-основании \(h=sin60^0*a=6.\) Тогда проекция боковой стороны на основание равна \({2\over 3}h=4.\)
Тогда косинус искомого угла равен \(cos\alpha={4\over 5} \Rightarrow sin\alpha={3\over 5}.\)
Ответ 0.6.
Известно, что \(tgx=2, {\pi}{<}x{<}{3\pi\over 2}.\) Найдите \({sinx\over \sqrt5}.\)
\(tgx={sinx\over \sqrt{1-sin^2x}} \Rightarrow sin^2x=4/5 \Rightarrow {sinx\over \sqrt5}=-0.4.\)
Ответ -0.4.
Трактор тащит сани с силой F=50 кН, направленной под острым углом α к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости v=3 м/с равна \(N=Fvcos\alpha\). При каком максимальном угле α (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?
Подставим все известные в формулу и найдем искомый угол.
\(75=50*3*cos\alpha \Rightarrow cos\alpha=0.5 \Rightarrow \alpha=60^o.\)
Ответ 60.
Сцепленные зубчатые колеса вместе в сумме делают 240 оборотов в минуту. Найдите количество зубьев у второго колеса, если у первого их 100, и делает оно на 80 оборотов в минуту больше, чем второе колесо.
Второе колесо делает \({240-80\over 2}=80\) оборотов в минуту. Тогда первое делает 160 оборотов в минуту. Вращаться быстрее должно меньшее колесо. Так как разница в скорости вращения у них 2 раза, то и количество зубьев должно отличаться тоже в два раза. Тогда у второго колеса 200 зубьев.
Ответ 200.
Парабола \(y=x^2+bx+c\) касается прямой у=х в точке (1;1). Найдите значение b.
Из геометрического смысла производной имеем: \(y^\prime(1)=2x+b=2+b=1 \Rightarrow b=-1.\)
Здесь использовали свойство производной: ее значение равно угловому коэффициенту касательной в точке касания.
Ответ -1.
Дано уравнение \(4^{sinx*tgx}*2^{1/cosx}=8^{tgx}.\)
а) решите уравнение.
б) найдите его корни, принадлежащие отрезку \([2.5\pi; 4\pi].\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Через ребро ВС правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) под углом 60о к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что площадь сечения призмы плоскостью α равна \(14\sqrt3\), а высота призмы равна 3.
А) Докажите, что плоскость α делит ребро \(A_1B_1\) в отношении 1:3, считая от точки \(B_1\).
Б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью α.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Решите неравенство \({(3^x-3)^3\over 2*3^x-4}<={27^x-2*3^{2x+1}+3^{x+2}\over 3^x-9^x+2}.\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD.
А) Докажите, что DС2=АС∙СО.
Б) Найдите площадь треугольника СDО, если известно, что АВ:ВО=3:1, а площадь треугольника АСD равна 36.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15 % годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже р% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки р.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Для каждого a определите наибольшее значение функции \(f(x)=x^3-3ax^2\) на отрезке [‐2; 2].
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
