Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 460 рублей, а стоимость одного номера журнала – 24 рубля. За полгода Нина купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал?
Нина бы сэкономила \(24*25-460=140\) рублей.
Ответ 140.
Известно, что кинетическая энергия (измеряемая в джоулях) движущегося тела вычисляется по формуле \(E={mv^2\over 2}\), где \(m\) – масса тела в килограммах, \(v\) – его скорость в м/с. Кинетическая энергия грузовика, движущегося со скоростью 60 км/ч, равна 2,5 МДж. Найдите массу грузовика. Ответ дайте в тоннах.
Подставим все известные в формулу и найдем массу грузовика. Не забудем перевести скорость в м/с.
\(2.5*10^6={m*60^2\over 2}*{1000\over 3600}^2 \Rightarrow m=2.5*3600=18000\) кг.
Ответ 18 т.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорост велосипедиста равна \(x\) км/ч, а скорость мотоциклиста равна \(y\) км/ч.
Из первого условия составим первое уравнение (мотоциклист был в пути 10 минут и проехал то же расстояние, что и велосипедист за 40 минут): \(10y=40x \Rightarrow y=4x.\)
Второе уравнение составим из второго условия: \({40\over 60}y-{70\over 60}x=30 \Rightarrow {160x-70x\over 60}=30 \Rightarrow x=20.\)
Тогда скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.
Ответ 80.
Найдите значение функции \(f(x)={x^2+9\over x}\) в точке максимума.
Находим производную функции, приравниваем ее нулю и находим критические точки, которые проверяем на экстремум. Далее среди точек экстремума выделяем точку максимума и определяем в ней значение функции.
\(f^\prime(x)={2x*x-x^2-9\over x^2}={x^2-9\over x^2} \Rightarrow f^\prime=0 \Rightarrow x=\pm3.\)
Имеем две критические точки. Среди них только точка \(x=-3\) - точка максимума (проверьте самостоятельно). Тогда искомое значение функции \(f(-3)=-6.\)
Ответ -6.
Дано уравнение \(log_{-cosx}(1-0.5sinx)=2.\)
а) решите уравнение
б) найдите его корни, принадлежащие отрезку \([14\pi; 16\pi].\)
\(log_{-cosx}(1-0.5sinx)=2 \Rightarrow 1-0.5sinx=cos^2x\Rightarrow 1-0.5sinx=1-sin^2x \Rightarrow \\ \Rightarrow sinx=0, sinx=0.5 \Rightarrow x=\pi n, x=(-1)^k{\pi \over 6}+\pi k, n,k-целые.\)
Если вспомнить ОДЗ, то получим, что первая серия корней не подходит, а из второй нам подходят только те, что лежат во второй четверти (косинус должен быть меньше или равен нуля), то имеем
Ответ
а) \(x=(-1)^k{\pi \over 6}+\pi k, k-целое.\)
б) \({89\pi\over 6}.\)
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура не превышала 10 градусов Цельсия.
Таких месяцев 7.
Ответ 7.
На рисунке клетка имеет размер \(\sqrt5\) см х \(\sqrt5\) см. Найдите периметр четырехугольника. Ответ дайте в сантиметрах.
Периметр равен (будем искать стороны как гипотенузы прямоугольных треугольников): \(P=2*(\sqrt{(2\sqrt5)^2+(4\sqrt5)^2}+\sqrt{(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2})=\\=2*(10+5)=30.\)
Ответ 30.
На тренировке баскетболист Майкл попадает 3‐очковый бросок с вероятностью 0,9, если бросает мячом фирмы «Nike». Если Майкл выполняет 3‐очковый бросок мячом фирмы «Adidas», то попадает с вероятностью 0,7. В корзине лежат 10 тренировочных мячей: 6 фирмы «Nike» и 4 фирмы «Adidas». Майкл наудачу берет из корзины первый попавшийся мяч и совершает 3‐очковый бросок. Найдите вероятность того, что бросок Майкла будет точен.
Вероятность равна \(P={6\over 10}*0.9+{4\over 10}*0.7=0.82.\)
Ответ 0.82.
Найдите корень уравнения \(\sqrt{3-x}=1-x\). Если корней несколько, то в ответе укажите больший из них.
\(\sqrt{3-x}=1-x\Rightarrow 3-x=1-2x+x^2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x=2, x=-1.\)
Первый корень не подходит из-за ОДЗ.
Ответ -1.
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен \(\sqrt3\). Найдите радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности в данном случае - это катет в прямоугольном треугольнике на рисунке. Тогда этот радиус равен \(r=\sqrt3 sin 60^o=1.5.\)
Ответ 1.5.
Функция \(y=f(x)\) определена на промежутке [‐4; 5]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек экстремума функции \(f(x)\).
Таких точек 4 штуки - производная меняет свой знак при переходе через точку экстремума и равна нулю в точке экстремума.
Ответ 4.
В цилиндрический сосуд положили чугунную деталь и налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 21 см. Когда деталь вынули из сосуда, уровень воды понизился на 11 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
По условию \(V_1=S_{осн}*h_1=V+2000 \Rightarrow 21S=V+2000.\)
После того, как деталь вынули, получим \(V_2=S*h_2=2000 \Rightarrow S*10=2000 \Rightarrow 21*S=4200.\)
Тогда выразим из первого соотношения объем детали \(V=21*S-2000=2200.\)
Ответ 2200.
Найдите значение выражения \(0.15+cos2\beta\), если известно, что \(cos\beta={\sqrt2 \over 4}.\)
Применим формулу косинуса двойного угла имеем \(0.15+cos2\beta=0.15+2cos^2\beta-1=0.15+2*0.5-1=-0.6.\)
Ответ -0.6.
