Необходимо перевезти 50 скутеров весом 300 килограмм каждый. Сколько рейсов понадобится сделать для этого, используя машину грузоподъемностью 5 тонн?
В одну машину помещяется \(5:0.3=16\) скутеров. Тогда нужно сделать 4 рейса для перевозки 50 скутеров.
Ответ 4.
Потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h метров над землей, вычисляется по формуле \(E_p=mgh\), где т – масса тела в килограммах, а g = 9,8 Н/кг – ускорение свободного падения. Вовочка стоит на балконе 7‐го этажа, расположенного на высоте 20 метров над землей и обладает потенциальной энергией 11,76 кДж. Какова масса Вовочки? Ответ дайте в килограммах.
Подставим все известные в формулу для потенциальной энергии и найдем искомую массу Вовочки: \(11760=9.8*20*m \Rightarrow m=60.\)
Ответ 60.
Первые 4 дня на строительстве объекта трудились 13 рабочих, после чего к ним присоединились еще трое, а спустя 3 дня шестеро рабочих были переведены на другой объект. За какой срок будет построен данный объект, если шесть рабочих могут выполнить это задание за 20 дней?
Производительность одного рабочего равна \({6\over 20}={1\over 120}\).
Тогда исходя из условия задачи составим уравнение для поиска неизвестного времени работы (обозначим за \(x\)) оставшихся 10-ти рабочих: \(4*13*{1\over 120}+3*16*{1\over 120}+x*10*{1\over 120}=1 \Rightarrow x=2.\)
Тогда искомое число дней равно \(4+3+2=9.\)
Ответ 9.
Найдите точку минимума функции \(f(x)=2\sqrt[3]{x^2}-{\sqrt [3]{x^4}\over 4}.\)
\(f(x)=2\sqrt[3]{x^2}-{\sqrt [3]{x^4}\over 4}=2x^{2\over 3}-0.25x^{4\over 3}.\)
Найдем производную функции, приравняем ее нулю, найдем критические точки. Определим какие из них, являются экстремумами и выберем среди них точку минимума.
К критическим точкам также относятся точки разрыва производной, если они попадают в область пределения функции. Экстремум - точка, в которой производная равна нулю и при переходе через нее меняет свой знак.
\(f^\prime(x)=2*({2\over 3})x^{-{1\over 3}}-{1\over 4}*{4\over 3}*x^{1\over 3}=0 \Rightarrow {4\over \sqrt [3]x}-\sqrt[3]x=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^{2\over 3}=4 \Rightarrow x=\pm8.\)
Еще одна критическая точка \(x =0,\) так как призводная в ней не существует, но эта точка входит в область определения функции.
Далее определяем промежутки возрастания и убывания функции (сделайте самостоятельно). Таким образом, точка \(x = 0\) - точка минимума функции.
Ответ 0.
Дано уравнение \((cos2x-1)^2=10sin^2x-4.\)
а) решите уравнение.
б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-{3\pi \over 2}; -{\pi \over 6}].\)
Применим формулу косинуса двойного угла, тогда \((1-2sin^2x-1)^2=10sin^2x-4 \Rightarrow 2sin^4x-5sin^2x+2.\)
Выполним замену \(y=sin^2x: 2y^2-5y+2=0 \Rightarrow y=2, y=0.5.\)
Первый корень не подходит ввиду того, что \(|sinx|<=1.\) Тогда имеем \(sinx=\pm{\sqrt2 \over 2}.\)
Отсюда находим \(x=(-1)^n{\pi \over 4}+\pi n, x=(-1)^{k+1}{\pi \over 4}+\pi k.\)
Если эти серии корней объединить в одну, то получим ответ а) \(x={\pi \over 4}+{\pi n\over 2}, n - \) целое.
Если отметить корни на единичной окружности, то в искомый отрезок попадают только три из них:
б) \(-{5\pi \over 4}, -{3\pi \over 4}, -{\pi \over 4}.\)
В правильной треугольной пирамиде РABC (Р – вершина) точка К – середина АВ, точка М – середина ВС, точка N лежит на ребре АР, причем АN:NP=1:3.
А) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки N, K, M, является равнобедренная трапеция.
Б) Найдите угол между плоскостями NKM и АВС, если известно, что АВ=6, АР=8.
Решение во вложении. Источник - alexlarin.com.
Решите неравенство \(log_2(5-x)*log_2(x+1)<=log_2{(x^2-4x-5)^2 \over 16}.\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Две окружности касаются внутренним образом в точке А так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке К. Прямые АВ и АС вторично пересекают меньшую окружность в точках Р и М соответственно.
А) Докажите, что РМ || ВС.
Б) Найдите площадь треугольника АВС, если РМ=12, а радиус большей окружности равен 20.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
В мебельный магазин поступили столы и стулья. Количество столов составляет 42% от числа стульев. Когда было продано 78% столов и 62% стульев, то столов осталось менее 300 штук, а стульев – более 200. Сколько столов и сколько стульев поступило в магазин?
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства \(|x-a|+|x+3a|>=x^2+a^2\) содержит ровно четыре целых значения x.
Решение во вложении.
Источник - alexalrin.com.
А) Решите в целых числах уравнение 19x + 97y = 4.
Б) Решите в целых числах уравнение 19x + 97y + xy = 4.
В) Решите в натуральных числах уравнение 19x + 97y = 4xy
Решение во вложении (пункт в).
Источник - alexlarin.com.
1 сентября 2013 года кондитерская фабрика выпустила в продажу два новых сорта конфет – Люкс и Шарм. На графиках показано, как эти конфеты продавались в течение первого года. (По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала продаж, в месяцах; по вертикальной – количество проданных за это время конфет, в тыс. тонн.) Сколько месяцев в течение первого года продавалось равное количество конфет каждого из этих сортов?
На рисунке видно, что в течение 2 месяцев (с 4 по 6) продавалось равное количество конфет каждого сорта.
Ответ 2.
Площадь маленького круга равна 4. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь малого круга \(S_1=\pi r_1^2=4.\)
Соотношение радиусов малого и большого кругов: \(r_2=2r_1.\)
Площадь большого круга \(S_2=\pi r^2_2=\pi 4r^2_1=16.\) Тогда искомая площадь \(S={7\over 8}(S_2-S_1)=10.5.\)
Ответ 10.5.
В лыжной гонке участвует 50 школьников. Перед началом соревнований проводится жеребьевка, где каждый участник получает стартовый номер от 1 до 50. Какова вероятность, что Петя Иванов, стартующий в этой гонке, получит номер, содержащий в своей записи цифру 4?
Подсчитаем, сколько всего чисел от 1 до 50 соедржат в своей записи цифру 4: 4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49. То есть, всего 14 штук.
Тогда искомая вероятность по определению равна \(P={14\over 50}=0.28.\)
Ответ 0.28.
Найдите корень уравнения \(log_2x+log_x2=-2.\)
\(log_2x+log_x2=-2 \Rightarrow log_2x+{1\over log_2x}=-2 \Rightarrow \\ \Rightarrow log_2^2x+2log_2x+1=0 \Rightarrow (log_2x+1)^2=1 \Rightarrow \\ \Rightarrow log_2x=-1 \Rightarrow x=0.5.\)
Ответ 0.5.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. СН – высота. АН=5, ВН=4. Найдите катет СВ.
Из подобия треугольников \(ABC\) и \(CBH\) имеем \({CB\over AB}={HB\over CB} \Rightarrow CB^2=HB*AB=36 \Rightarrow CB=6.\)
Ответ 6.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(f(x)=3x^2, g(x)=3\sqrt x\).
Площадь будет равна определенному интегралу от разности этих функций. Но сначала найдем точки их пересечения и определим то, какая функция находит выше, чем другая на графике. Сделайте это сами.
Запишем определенный интеграл, дающим нам искомую площадь: \(S=\int^1_0(3\sqrt x-3x^2)dx=(2x\sqrt x-x^3)|_0^1=1.\)
Ответ 1.
В шар с радиусом \(2\sqrt3\) вписан куб. Найдите сумму длин всех ребер куба.
Радиус шара равен половине диагонали куба, тогда из теоремы Пифагора имеем \(d=2r=4\sqrt3=a^2+2a^2 \Rightarrow a=4.\) Здесь \(a\) - сторона куба.
Тогда сумма длин всех ребер куба равна 48.
Ответ 48.
Вычислите \(cosa\alpha\), если известно, что \(tg^2\alpha=1.5.\)
\(tg^2\alpha={1-cos2\alpha\over 1+cos2\alpha} \Rightarrow 1.5(1+cos2\alpha)=1-cos2\alpha \Rightarrow cos2\alpha=-0.2.\)
Ответ -0.2.
