Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?
Потребуется \({50*0.24\over 2.5}=5\) банок краски.
Ответ 5.
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+{g\over 2}k^2t^2\), где t - время (в секундах), прошедшее с момента открытия крана, \(H_0=20\) - начальная высота столба воды, \(k=1/400\) - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, \(g-\) ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма?
Подставим все известные в формулу и найдем искомое время.
\(5=20-\sqrt{2*10*20}{t\over 400}+{10\over 2}*{1\over 400^2}*{1\over t^2} \Rightarrow {5t^2\over 400^2}-{1\over 20}t+15=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow t^2-4*400*t+4*300*400=0.\)
Решая полученное квадратное уравнение, находим искомое время \(t=400.\)
Ответ 400.
Из города A в город B выехал грузовик, а через час следом за ним выехал легковой автомобиль. Через два часа после выезда легковой автомобиль догнал грузовик и приехал в пункт B на 3 часа раньше, чем грузовик. Сколько часов потратил на дорогу от A до B грузовик?
Обозначим скорость автомобиля через \(x,\) а скорость грузовика через \(y.\)
Первое уравнение составим из первого условия \(3y=2x \Rightarrow x=1.5y.\)
Второе уравнение составим из второго условия и решим его относительно скорости грузовика. Длину расстояния от А до В обозначим за единицу, тогда \({1\over y}=4+{1\over x}.\)
Отсюд находим, что \(y=1/12 \Rightarrow {1\over y}=12.\)
Ответ 12.
Найдите наименьшее значение функции \(e^{2x}-6e^x+3 \) на отрезке \([1; 2].\)
Сделаем замену \(t=e^x \Rightarrow f(t)=t^2-6t+3; \\
f^\prime(t)=2t-6 \Rightarrow f^\prime=0 \Rightarrow t=3.\)
Отрезок также преобразуется в \([e; e^2].\) Причем найденная критическая точка входит в этот отрезок.
Найденная критическая точка - точка минимума (проверьте сами), тогда наименьшее значение функции будет при \(t=3.\)
Оно равно -6.
Ответ -6.
Дано уравнение \({1+\sqrt3\over 2}sin2x=(\sqrt3-1)cos^2x+1.\)
а) решите уравнение.
б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([{{3\pi \over 2}; 3\pi]}.\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\) с нижним основанием ABC и боковыми ребрами \(AA_1, BB_1, CC_1\) рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F,C , где точка Е является серединой ребра \(AA_1\), точка F лежит на ребре \(BB_1\), причем \(BF:FB_1=1:2\).
А) Докажите, что объем части призмы \(ABCA_1B_1C_1\), заключенный между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет \({5\over 18}\) объема призмы.
Б) Найдите угол между нижним основанием призмы и плоскостью сечения, если призма \(ABCA_1B_1C_1\) ‐ правильная и все ее ребра равны между собой.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Решите неравенство \({1\over 2}log_{x-1}(x^2-8x+16)+log_{4-x}(-x^2+5x-4)>=3.\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Прямая, параллельная гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, пересекает катет АС в точке D, катет ВС – в точке Е, причем DE=2 и BE = 1. На гипотенузе взята точка F так, что BF=1, а величина угла FCB равна 30 градусов.
А) Докажите, что треугольник BFE равносторонний.
Б) Найдите площадь треугольника АВС.
Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого экскаватора стоит 60 руб в день, производительность его в мягком грунте составляет 250 м3 в день, в твердом грунте – 150 м3 в день. Аренда второго экскаватора стоит 50 руб в день, его производительность в мягком грунте 480 м3 в день, а в твердом – 100 м3 в день. Первый проработал несколько полных дней и вырыл 720 м3. Второй за несколько полных дней вырыл 330 м3. Сколько дней работал каждый экскаватор, если колхоз заплатил за аренду не более 300 руб.
Решение во вложении.
Источник - Alexlarin.com.
При каких значениях параметра a система уравнений имеет ровно два решения?
Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
а) k = 9;
б) k = 8?
На рисунке жирными точками показан курс австрийского шиллинга, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 30 января 1999 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена шиллинга в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какой был курс шиллинга 15 января. Ответ дайте в рублях.
Курс был 1.82.
Ответ 1.82.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
\(tgAOB=tg(180^o-(AOK+BOM))=-tg(AOK+BOM)=\\=-{tgAOK+tgBOM\over 1-tgAOK*tgBOM}=-{1/2+1/3\over 1-1/6}=-1.\)
Здесь воспользовались формулой приведения и формулой тангенса суммы двух углов.
Ответ -1.
Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?
Всего чисел 10 штук.
Среди них делятся на три только: 12, 15, 18.
Тогда искомая вероятность равна P=3/10=0.3.
Ответ 0.3.
Угол ACO равен 24 градусов. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
\({<}AOC=90^o-24^o=66^o.\)
\({<}DOC- \)развернутый, тогда \({<}DOA=180^o-66^o=114^o.\)
Тогда и градусная мера искомой дуги равна \(114^o,\) так как на нее опирается центральный угол \({<}DOA=114^o.\)
Ответ 114.
На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\). Прямая, проходящая через точку (‐6;‐1), касается этого графика в точке с абсциссой 6. Найдите \(f^\prime(6)\).
Производная функции в точке - угловой коэффициент наклона касательной к графику функции в этой точке. Тогда нам надо составить уравнение касательной, проходящей через две точки (точку (‐6;‐1) и точку касания (6; 2)) и найти ее угловой коэффициент.
Уравнение касательной имеет вид \({x+6\over 6+6}={y+1\over 2+1 }\Rightarrow 3(x+6)=12y+12 \Rightarrow y=0.25x-10.5.\)
Угловой коэффициент равен 0.25.
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) известно, что \(AB=\sqrt3 AA_1\). Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(CC_1\). Ответ дайте в градусах.
Прямые \(AB_1\) и \(CC_1\) - скрещивающиеся.
Спроецируем \(CC_1\) на плоскость грани\(ABA_1B_1.\) Тогда искомый угол легко найти. Его тангенс вычисляется из треугольника \(OHB_1.\)
\(tg\alpha={HB_1\over OH}={0.5AB\over 0.5AA_1}=\sqrt3.\)
Тогда искомый угол равен 60 градусам.
Ответ 60.
Найдите значение выражения \({b^2\sqrt [6]b\over \sqrt[10]b*\sqrt[15]b}\) при \(b=6.\)
Упростим выражение и найдем его значение
\({b^2\sqrt [6]b\over \sqrt[10]b*\sqrt[15]b}={b^{13\over 6}\over b^{3+2\over 30}}=b^{{13\over 6}-{1\over 6}}=b^2=36.\)
Ответ 36.
