На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. за литр. Клиент получил 1 руб. 60 коп. сдачи. Сколько литров бензина было залито в бак?
Клиент залил \({1000-1.6\over 31.2}=32\) литра бензина.
Ответ 32.
Плоский замкнутый контур площадью S = 0,5 м2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \(\epsilon_i=a*S*cos\alpha\), где \(\alpha\) острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a=4*10^{-4}\) Тл/с — постоянная, \(S -\) площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле a (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \(10^{-4}\) В?
Подставим все известные в формулу и найдем неизвестный угол: \(10^{-4}=4*10^{-4}*0.5*cos\alpha \Rightarrow cos\alpha=0.5 \Rightarrow\alpha=60^o.\)
Ответ 60.
Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
В первый раз стрелки поравняются в 7 часов (от 35 до 40 минут), во второй раз в 8 часов (между 40 и 45 минутами), в третий раз в 9 часов (между 45 и 50 минутами), в четвертый раз в 10 часов (между 50 и 55 минутами) и в пятый раз - ровно в 12-00.
Таким образом, имеем, чтов пятый раз стрелки поравняются через \(5*60+25=325\) минут.
Ответ 325.
Найдите точку минимума функции \(y=4x-4ln(x+7)+6.\)
Находим производную, приравниваем нулю и определяем критические точки, которые затем проверяем на экстремум и находим среди них точку минимума (производная должна менять знак с отрицательного на положительный).
\(y^\prime=4-{4\over x+7} \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=-6.\)
Проверьте самостоятельно, что точка \(x =-6\) является точкой минимума.
Ответ -6.
Дано уравнение \(\sqrt{1-cos2x}=sin2x\).
а) решите уравнение
б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-{3\pi \over 2}; 0].\)
ОДЗ: \(sin2x>=0 \Rightarrow x\ \in[\pi n; {\pi \over 2}+\pi n].\)
Возводим уравнение в квадрат, применяем формулы косинуса и синуса двойного угла, получаем: \(1-1+2sin^2x=4sin^2xcos^2x \Rightarrow sin^2x=0, cos^2x=0.5 \Rightarrow x=\pi n, x={\pi \over 4}+\pi n.\)
Ответ
а) \(x=\pi n, x={\pi \over 4}+\pi n\)
б) \({-\pi, -{3 \pi \over 4}}, 0.\)
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды FABCD с основанием ABCD равны 7. Точки P,Q,R лежат на ребрах FA, AB и ВС соответственно, причем FP=BR=4, AQ=3.
А) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD
Б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Решите неравенство \(log_5(2+x)(x-5)>log_{25}(x-5)^2.\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, Р – точка пересечения его диагоналей, АВ=CD=5, AD>BC. Высота , опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна \({25\over 2}\).
А) Докажите, что ABCD – равнобедренная трапеция
Б) Найдите стороны AD, BC и радиус окружности R.
Решение во вложении.
Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью 2500 м2. Стоимость одного дома площадью a м2 складывается из стоимости материалов \(p_1*a^{3\over 2}\) тыс.руб, стоимости строительных работ \(p_2*a\) тыс.руб и стоимости отделочных работ \(p_3*a^{1\over 2}\) тыс.руб. Числа \(p_1, p_2, p_3\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?
Решение во вложении.
Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы одно решение.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
а) На доске записаны числа: 4, 14, 24, ... , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом – еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?
б) В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.
На диаграмме показано количество запросов со словом СНЕГ, сделанных на поисковом сайте Yandex.ru во все месяцы с марта 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество запросов за данный месяц. Определите по диаграмме наименьшее месячное количество запросов со словом СНЕГ с января по октябрь 2009 года.
Ответ 140000.
Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите \({S\over \pi}.\)
Радиус круга найдем как гипотенузу показанного на рисунке прямоугольного треугольника \(R=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.\)Тогда \({S\over \pi}=5.\)
Ответ 5.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая — 30%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Искомая вероятность равна (стекло может быть выпущено как первой, так и второй фабрикой): \(P=0.7*0.05+0.3*0.04=0.047.\)
Ответ 0.047.
Найдите корень уравнения \({1\over \sqrt{3-x}}={1\over x-1}\). Если корней несколько, то в ответе укажите их сумму.
\({1\over \sqrt{3-x}}={1\over x-1} \Rightarrow (x-1)^2=3-x \Rightarrow x^2-2x+1-3+x=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow x=2, x=-1.\)
Вспомним ОДЗ \((x-1>0; 3-x>0)\), тогда остается только корень \(x = 2.\)
Ответ 2.
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95, 49, 71, 145 градусов. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол В - вписанный угол, он опирается на дугу ADC и равен половине градусной меры этой дуги, то есть, он равен 108 градусам.
Ответ 108.
Прямая \(y=4x-2\) является касательной к графику функции \(f(x)=ax^2+28x+14\). Найдите a .
По геометрическму определению производной она равна угловому коэффициенту наклона касательной в точке касания. Из этого условия получим первое уравнение \(f^\prime(x_0)=2ax_0+28=4.\)
Второе уравнение получим из условия, что в точке касания оба уравнения (кривой и касательной) должны быть равны (точка касания удовлетворяет обоим уравнениям): \(4x_0-2=ax^2_0+28x_0+14.\)
Решая оба уравнения в системе, находим \(a=9.\)
Ответ 9.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки \(A, B, C, A_1, C_1\) правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\), площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.
Многогранник \(A, B, C, A_1, C_1\) - это пирамида, в основании лежит прямоугольник. Объем этой пирамиды равен
\(V={1\over 3}a*b*h*={1\over 3}*b*2*({1\over 2}a*h)=\\={1\over 3}*2*2*S_{осн}=4*{3\over 3}=4.\)
Ответ 4.
Найдите значение выражения \({9^{x+11}*2^{3x+8}\over 3^{2x+21}*4^{x+4}}\) при \(x = 2.\)
\({9^{x+11}*2^{3x+8}\over 3^{2x+21}*4^{x+4}}={3^{2x+22-2x-21}*2^{3x+8-2x-8}}=3*2^x=12.\)
Ответ 12.
