В спортивной гимназии обучается 777 школьников. Известно, что число девочек составляет не менее 33% от числа всех учащихся гимназии. Какое наибольшее количество мальчиков может быть в этой гимназии?
Девочек в гиманазии обучается \(777*0.33=257\). Тогда мальчиков учится 520 человек.
Ответ 520.
Кинетическая энергия тела, имеющего массу \(m\) (кг) и скорость \(v\) (м/с) равна \(E={mv^2\over 2}\) (Дж). Какую наименьшую начальную скорость должна иметь пуля массой 10 грамм, чтобы при прохождении через неподвижную мишень передать ей энергию не меньше 600 Дж, уменьшив при этом свою скорость не более, чем в два раза? (Считать, что в процессе полёта пули потери энергии не происходит). Ответ дайте в м/с.
Подставим все известные в формулу для кинетической энергии и найдем искомую начальную скорость: \({mv_0^2\over 2}=600+{mv_0^2\over 2*4} \Rightarrow {3mv_0^2\over 8}=600 \Rightarrow v_0=400\) м/с.
Ответ 400.
Моторная лодка проплыла против течения реки 150 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч, тогда на прямой путь против течение лодка затратила \({150\over 20-x}\) часов, а на обратный путь она затратила \({150\over 20+x}\) часов. Тогда составим уравнение в соответствии с условием задачи \({150\over 20-x}=4+{150\over 20+x} \Rightarrow x=5\) км/ч.
Ответ 5.
Найдите точку минимума функции \(f(x)=x^3(3x+4)-12(x^2+1)\) на промежутке (‐5; 0,5).
\(f^\prime(x)=3x^2(3x+4)+3x^3-24x=12x^3+12x^2-24x=\\=12x(x^2+x-2)=12x(x-1)(x+2).\)
\(f^\prime=0 \Rightarrow \\ x=0,\\x=1,\\ x=-2.\)
Среди них точка минимума это точка \(x = -2.\)
Проверьте это самостоятельно, изучив промежутки возрастания и убывания функции на заданном отрезке.
Ответ -2.
Дано уравнение \(log_2 x^2+log_x 4=5.\).
а) решите уравнение
б) уажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\sqrt [3]{3}; \sqrt [3]{65}].\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Через середину ребра \(AA_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) перпендикулярно прямой \(BD_1\) проведена плоскость \(\alpha\).
А) Докажите, что сечением куба плоскостью \(\alpha\) является правильный шестиугольник.
Б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\).
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Решите неравенство \(\sqrt{9-x^2}*(3sinx-2cos^2x)>=0.\)
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы АВ в точке М. Точка О – центр описанной около треугольника АВС окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке Р.
А) Докажите, что площадь треугольника АВС равна произведению длин отрезков АМ и ВМ.
Б) Найдите площадь четырехугольника ВСРО, если известно, что АМ=12, ВМ=5.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.
Решение во вложении.
Источник - alexalrin.com.
А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие две не били друг друга?
Б) На шахматной доске поставлены восемь ладей. Какое наибольшее число клеток может оказаться не под боем этих ладей?
В) На 64 клетках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т.д.) Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций нефтедобывающей компании в первой половине мая. 3 мая бизнесмен приобрёл 2000 акций этой компании. 1000 акций он продал 7 мая, а остальные акции продал 12 мая. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?
Бизнесмен потерял \(2000*350-1000*340-1000*320=40000\) рублей.
Ответ 40000.
На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках А, В и С. Ответ приведите в квадратных сантиметрах.
Площадь - это половина длина основания на длину высоты. Тогда \(S=0.5*7*8=28.\)
Ответ 28.
Некоторый прибор состоит из трёх блоков. Если в работе одного из блоков происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя в течение года для первого и второго блоков составляет по 0,2, а для третьего блока – 0,1. Какова вероятность, что в течение года произойдёт хотя бы одно отключение данного прибора?
Найдем вероятность того, что прибор в течение года не отключится: \(P_1=(1-0.2)*(1-0.2)*(1-0.1)=0.576.\)
Тогда искомая вероятность равна \(P=1-P_1=1-0.576=0.424.\)
Ответ 0.424.
Найдите корень уравнения \(10^{2x+1.7}=\sqrt{0.1}.\)
\(10^{2x+1.7}=\sqrt{0.1} \Rightarrow 10^{2x+1.7}=10^{-0.5} \Rightarrow 2x+1.7=-0.5 \Rightarrow x=-1.1.\)
Ответ -1.1.
В трапеции АВСD (АВ||СD) угол DCB равен 72о. Окружность с центром в точке В проходит через точки А, D и С. Найдите величину угла ADC. Ответ дайте в градусах.
\({<}ABC=180-{<}DCB=108^0.\)
Угол ADC - вписанный, он равен половине градусной меры дуги, на котороую он опирается.
Угол ABC - центральный, он равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Тогда \({<}ADC=0.5*(360-108)=126^0.\)
Ответ 126.
К графику функции \(y=f(x)\) в точке с абсциссой \(x_0\) проведена касательная, которая параллельна прямой, проходящей через точки (‐1; 2) и (3; ‐3) этого графика. Найдите \(f^\prime(x_0).\)
Из геометрического смысла производной: она равна угловому коэффициенту наклона касательной.
Найдем уравнение прямой, проходящей через две точки (‐1; 2) и (3; ‐3). Тогда угловой коэффициент наклона касательной будет равен угловому коэффиценту этой прямой.
\({x+1\over 3+1}={y-2\over -3-2} \Rightarrow k=-1.25.\)
Тогда \(f^\prime(x_0)=-1.25.\)
В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Найдите объем конуса, если объем шара равен 120.
Так как радиус шара и радиус основания конуса, и его высота совпадают, то
\(V_{к}={1\over 3}\pi r^2h={1\over 3}\pi r^3={1\over 4}V_{ш}=30.\)
Ответ 30.
Вычислите \(\sqrt{12}cos^2{5\pi \over 12}-\sqrt3.\)
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла.
\(\sqrt{12}cos^2{5\pi \over 12}-\sqrt3=\sqrt{12}*{1+cos{5\pi \over 6}\over 2}-\sqrt3=\\=\sqrt{3}(1+cos{5\pi \over 6})-\sqrt3=-\sqrt{3}*\sqrt{3}/2=-1.5.\)
Ответ -1.5.
