Футболисты Саша и Паша в одном из ресторанов Монако за один вечер потратили по 125000 €. За сколько лет может заработать такую сумму средний провинциальный учитель с месячной зарплатой 15000 рублей, если курс евро в тот день составлял 72 рубля?
Учитель должен проработать \(125000*72/15000/12=50\) месяцев.
Ответ 50.
В дне цилиндрического бака имеется кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в сантиметрах, меняется по закону \(H(t)=at^2+bt+96,\) где a=0,6 см/мин2, b (см/мин) – постоянные параметры, t – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Известно, что через 10 минут после открытия крана вся воды вытечет из бака. Каким будет уровень воды в баке через 5 минут после открытия крана? Ответ выразите в сантиметрах.
Подставим сначала в формулу для высоты уровня воды в баке значения для 10 минут и найдем неизвестный параметр: \(0=0.6*10^2+10b+96 \Rightarrow b=-15.6.\)
Тогда ответ будет следующим \(H(5)=0.6*5^2-15.6*5+96=33.\)
Ответ 33.
Пусть \(x\) м2/день запланированная производительность плиточника, а \(t \) суток - запланированное время работы.
Составим первое уравнение из первого условия, а второе уравнение - из второго условия.
Затем раскроем скобки во втором уравнении, подставим в него первое и решим относительно \(x.\)
\(1-е: xt=187 \\2-е: (x+6)(t-6)=187 \Rightarrow xt-6x+6t=187 \Rightarrow t=x+6. \\x(x+6)=187 \Rightarrow x^2+6x-187=0 \Rightarrow x=11.\)
Ответ 11.
Найдите наибольшее значение функции \(y=x^2-x^4.\)
Выделим полный квадрат
\(y=x^2-x^4=-((x^2)^4-2*0.5*x^2+(0.5)^2)+0.25=-(x^2-0.5)+0.25.\)
Тогда наибольшее значение равно 0.25, так как функция в скобках (полный квадрат) возрастает, а, следовательно, вся функция убывает при росте \(x\), так как перед скобкой стоит знак минус.
Ответ 0.25.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка М так, что SM:MС=7:18.
а) Докажите, что плоскости SBC и АВМ перпендикулярны.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость АВМ.
Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.
Решение во вложении.
Можно ли п попарно различных натуральных чисел расположить по кругу так, чтобы сума любых двух соседних чисел являлась точным квадратом, если
а) п = 3;
в) п = 5?
б) п = 4;
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
На графике точками отмечена максимальная цена (в рублях) одной акции металлургического комбината в течение каждого из 12 месяцев 2007‐го года. Для наглядности точки соединены отрезками. Определите, сколько месяцев в 2007‐м году максимальная цена одной акции этой компании превышала 70 руб.
Таких месяцев было 3 штуки.
Ответ 3.
Клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите длину отрезка СК. Ответ дайте в сантиметрах.
Искомый отрезок - медиана, проведенная к гипотенузе.
Его длина равна половине длины гипотенузы, то есть, 6.5 см.
Ответ 6.5.
Витя пишет на доске любую цифру от 1 до 8. После этого Наташа рядом (либо справа, либо слева) приписывает также любую цифру от 1 до 8. Найдите вероятность того, что записанное двузначное число будет делиться на 7.
Всего двузначых чисел будет \(8*8=64\) штуки.
Среди них на 7 будут делиться только 14, 21, 28, 35, 42, 56, 63, 77 и 84.
Тогда искомая вероятность равна \(P=9/64=0.140625.\)
Ответ 0.140625.
Найдите корень уравнения \((2x-1.4)^3=-64.\)
\((2x-1.4)^3=-64 \Rightarrow 2x-1.4=-4 \Rightarrow x=-1.3.\)
Ответ -1.3.
На окружности отмечены точки А, В и С так, что дуги АnC, BmC и ApB относятся, как 7:6:5. Определите, на сколько градусов угол АВС больше, чем угол АСВ.
Окружность поделена дугами на 7+5+6=18 частей. Каждая часть равна 20 градусам. Тогда градусные меры дуг составляют 140, 120 и 100 градусов.
Тогда вписанные углы, опирающиеся на дуги AnC и ApB равны 70 и 20 градусам соответственно. Тогда ответ 20 градусов.
Ответ 20.
На графике дифференцируемой функции \(y=f(x)\) отмечены семь точек: \(x_1,...,x_7\). Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции \(f(x)\) больше нуля. В ответе укажите количество этих точек.
Производная функции \(f(x)\) больше нуля в тех точках, в которых функция возрастает. Тогда таких точек на графике 2 штуки.
Ответ 2.
Площадь боковой поверхности конуса равна 10, а косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания равен 0,64. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна \(S=\pi rl,\) где \(r-\) радиус основания, а \(l-\) образующая.
Из прямоугольного треугольника имеем \(r=l*cos\phi=l*0.64 \Rightarrow l={r\over 0.64}.\)
Тогда \(S=\pi r^2/0.64=10 \Rightarrow \pi r^2=6.4.\)
Окончательно имеет \(S_{полн}=10+6.4=16.4.\)
Ответ 16.4.
Найдите значение выражения \({cos18^o*sin18^o\over cos126^o}.\)
Применим формулу синуса двойного угла и формулы приведения: \({cos18^o*sin18^o\over cos126^o}={0.5sin26^o\over -sin36^o}=-0.5.\)
Ответ -0.5.
