На одну порцию спагетти болоньезе требуется 80 г спагетти и 120 г говядины. Какое
наибольшее количество порций спагетти болоньезе может приготовить ресторан, если в его распоряжении имеется 10 пачек спагетти по 0,5 кг и 8 кг говядины?
Спагетти хватит на \(5000/80=62\) порции.
Говядины хватит на \(8000/120=66\) порций.
Тогда ответ 62 порции.
Ответ 62.
Автомобиль, масса которого равна m=2400 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остается неизменным, и проходит за это время путь S=480 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F={2mS\over t^2}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 4 кН. Ответ выразите в секундах.
Подставим все известные величины в формулу и найдем искомое время: \({2*2400*480\over t^2}=4000 \Rightarrow t^2=12*48 \Rightarrow t=24.\)
Ответ 24.
Смешав 45‐процентный и 97‐процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62‐процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50‐процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72‐ процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45‐процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть взяли \(x\) кг первого раствора и \(y\)кг второго раствора. Тогда составим уравнения в соответствии с условиями задачи. Будем приравнивать массу кислоты в каждом из двух случаев.
Первое уравнение: \(0.45*x+0.97*y=(x+y+10)*0.62.\)
Второе уравнение: \(0.45*x+0.97*y+10*0.5=(x+y+10)*0.72.\)
Решим уравнения совместно. Вычтем первое уравнение из второго, затем выразим \(y\) через \(x\) и найдем искомую массу первого раствора.
Ответ 15.
Найдите точку максимума функции \(f(x)=x+1/x.\)
Найдем производную функции, приравняем ее нулю, определим критические точки. Проверим эти точки на экстремум (исследуем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область опеределения функции). Найдем точку максимума, при переходе через которую производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный.
\(f^\prime(x)=1-{1\over x^2} \Rightarrow f^\prime=0 \Rightarrow x=\pm 1.\)
Точка максимума - точка \(x=-1.\)
Ответ -1.
Высота равнобедренной трапеции АВСD (ВС и АD – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон АВ, ВС и СD трапеции, если известно, что ВС=4, АD=6.
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Амстердаме каждый день с 6 по 19 июля 1881 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из указанного периода среднесуточная температура находилась в интервале от 20 до 22 градусов.
Ответ и решение показаны на рисунке.
Ответ 6.
Клетка имеет размер 1 см х 1 см. Найдите площадь закрашенной фигуры в квадратных сантиметрах.
Площадь закрашенной фигуры - это площадь трапеции и треугольника.
Тогда искомая площадь равна \(S=0.5*2*6+0.5*(4+6)*3=6+15=21.\)
Ответ 21.
Учащимся 9‐х классов одной из школ г. Омска было предложено пройти добровольное профориентационное тестирование. Вероятность того, что на тестирование придут менее 60 девятиклассников, равна 0,92. Вероятность того, что окажется меньше 40 девятиклассников, равна 0,48. Найдите вероятность того, что в тестировании примут участие от 40 до 59 девятиклассников.
Искомая вероятность равна \( P=0.92-0.48=0.44.\)
Ответ 0.44.
В треугольнике AВС высоты АК и ВР пересекаются в точке О. Известно, что угол АВО = 44о, а угол ВСА = 66о. Найдите угол ОАВ. Ответ дайте в градусах.
Из четырехугольника \(PCKO\) имеем \({<}POK=360^o-90^o-90^o-66^o=114^o.\)
Далее \({<}AOB={<}POK=114^o \Rightarrow {<}OAB=180^o-114^o-44^o=22^o.\)
Ответ 22.
Прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика функции \(f(x)=-2x^2+6x-7.\) Найдите ординату точки касания.
Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс, можно записать в виде: \(y=b.\)
Ее угловой коэффициент равен нулю, тогда из геометрического смысла производной имеем \(k=0=f^\prime(x_0)=4x_0+6 \Rightarrow x_0=1.5\)
Тогда ордината точки касания равна \(f(x_0)=-2*{9\over 4}+6*1.5-7=-2.5.\)
Ответ -2.5.
В цилиндрический бак налито 240 л воды, при этом уровень жидкости оказался равным 90 см. На сколько сантиметров поднимется уровень воды, если в этот бак полностью погрузить деталь объемом 800 см3?
Используем свойство пропорции и найдем, на сколько сантиметров поднимется уровень воды: \(h_2={V_2*h_1\over V_1}=0.3 см.\)
Ответ 0.3.
Найдите значение выражения \({24^{12}\over 3^{11}*16^9}.\)
\({24^{12}\over 3^{11}*16^9}={3^{12}*2^{36}\over 3^{11}*2^{36}}=3.\)
Ответ 3.
