Из некоторого количества шерсти получается рулон тонкослойного войлока длиной 40 м и шириной 90 см. Сколько метров тонкослойного войлока можно получить из такого же количества шерсти, если ширина рулона будет 1,2 м?
Из того же количества шерсти можно будет получить рулон шерсти длиной \(0.4*0.9/1.2=0.3=30 см.\)
Ответ 30.
Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой \(\eta={T_1-T_2\over T_1}*100\%\). При каком наименьшем значении температуры нагревателя Т1 КПД этого двигателя будет не меньше 75%, если температура холодильника \(T_2=120\)?
Подставим все известные величины в формулу и найдем неизвестную температуру \(75\%={T_1-120\over T_1}*100\% \Rightarrow 0.75*T_1=T_1-120 \Rightarrow T_1=480.\)
Ответ 480.
Два велосипедиста с постоянными скоростями стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы. Через 10 минут после старта один из велосипедистов в первый раз догнал другого. Через какое время после старта первый велосипедист во второй раз догонит другого? Ответ дайте в минутах.
Более быстрый велосипедист до первой встречи со вторым проехал столько же, сколько и второй, плюс половину круга, то есть составим первое уравнение, обозначив их скорости через \(x, y.\)
\(10y=10x+0.5l.\)
Второе уравнение составим из второго условия: \(y*t=x*t+l.\)
Выразим время из второго уравнения, использовав первое: \((y-x)t=20(y-x) \Rightarrow t=20.\)
Тогда искомое время равно 30 минутам.
Ответ 30.
Найдите наименьшее значение функции \(y=x^3-9x^2+3\) на отрезке [‐3; 7].
Алгоритм следующий.
Ищем производную, приравниваем ее нулю. Находим критические точки.
Ищем значения функции критических точках и в концах отрезка. Выбираем среди них наименьшее.
\(y^\prime=3x^2-18x \Rightarrow y^\prime=0 \Rightarrow x=0, x=\pm \sqrt6.
\\y(0)=3,\\y(-3)=-105,\\y(t)=217\\...\)
Ответ -105.
Ответ -105.
Дано уравнение \(625^x-6*125^x+9*25^x=4*25^x-24*5^x+36.\)
а) решите уравнение
б) укажите корни из отрезка \([{1\over 3}; {1\over 2}]\).
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
Дана правильная шестиугольная призма . Через точки \(B, D_1, F_1\) проведена плоскость α. \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\)
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро \(CC_1\) в такой точке \(M\), что \(MC:MC_1=1:2.\)
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит плоскость α.
Решение во вложении.
Источник - alexalrin.com.
Решите неравенство \({5(x-6\sqrt x+8)\over x-16}<=\sqrt x-2.\)
Решение во вложении.
Источник - alexalrin.com.
Четырехугольник АВСD со взаимно перпендикулярными диагоналями АС и BD вписан в окружность.
А) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
Б) Найдите площадь четырехугольника АВСD, если известно, что \(AB=\sqrt5, BC=\sqrt2, CD=\sqrt7.\)
Решение во вложении.
Источник - alexalrin.com.
В распоряжении прораба Валерия имеется бригада каменщиков в составе 40 человек. Их нужно распределить на неделю на два строящихся объекта.
Если на первом объекте работает t человек, то их недельная зарплата составляет \(1.5t^2\) тыс. рублей.
Если на втором объекте работает t человек, то их недельная зарплата составляет \(2t^2\) тыс. рублей.
Как Валерию нужно распределить на эти объекты бригаду каменщиков, чтобы выплаты на их недельную зарплату оказались наименьшими? Сколько рублей в этом случае пойдет на зарплату?
Решение во вложении.
Источник - alexalrin.com.
Найдите все а, при каждом из которых уравнение \(2cos2x+2asinx+a-1=0\) имеет наибольшее количество решений на отрезке \([-\pi; {17\pi \over 6}]\). Чему равно это количество?
Решение во вложении.
Источник - alexlarin.com.
На графике показано изменение кинетической энергии Е движущегося тела (в килоджоулях) в зависимости от времени t (в минутах). На сколько килоджоулей увеличится кинетическая энергия тела в течение третьего часа движения?
Энергия увеличится на 3 кДж.
Ответ 3.
Найдите площадь закрашенного четырехугольника.
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на длину высоты, тогда \(S=2*2=4.\)
Ответ 4.
Музыкальный фестиваль проводится в 6 дней. Всего запланировано 80 выступлений – первые четыре дня по 15 выступлений, остальные распределены поровну между пятым и шестым днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление группы «Ленинград» с композицией «Экспонат» окажется запланированным на предпоследний день фестиваля?
Искомая вероятность равна (отношению благоприятных исходов к общему числу исходов) \(P=10/80=0.125.\)
Ответ 0.125.
Найдите корень уравнения \(32^{x+3.2}=1/2.\)
\(32^{x+3.2}=1/2 \Rightarrow 2^{5x+16}=2^{-1} \Rightarrow 5x=-17 \Rightarrow x=-3.4.\)
Ответ -3.4.
Из точки С к окружности провели секущую СВ и касательную СD (D – точка касания). Найдите СD, если известно, что АВ=6, AC=2.
По известной теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки, имеем \(CD^2=AC*BA \Rightarrow CD=\sqrt{AC*BA}=4.\)
Ответ 4.
\(F(x)\) – первообразная функции \(f(x)=2x-3\), причем ее график проходит через точку (3;‐1). Найдите \(F(-3)\).
Интегрируем функцию, находим первообразную. Константу ищем из условия, что ее график проходит через данную точку.
\(F(x)=x^2-3x+c \Rightarrow -1=9-9+c \Rightarrow c=-1.\\F(-3)=9+9-1=17.\)
Ответ 17.
Найдите объем правильной шестиугольной призмы \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\), если известно, что объем многогранника с вершинами в точках \(E, B_1, A_1, F_1,E_1\) равен 12.
Многогранник является пирамидой.
Оюбъем пирамиды равен одной шестой объема призмы, так как площадь основания пирамиды равна половине площади основания призмы, а объем пирамиды равен одной третьей произведения площади на длину высоты. Высоты у призмы и пирамиды совпадают. Тогда искомый объем равен \(6*12=72.\)
Ответ 72.
Найдите значение выражения \(\sqrt2*sin{\pi \over 8}*cos{7\pi \over 8}.\)
Применим формулу синуса двойного угла и формулу приведения, тогда получим \(\sqrt2*sin{\pi \over 8}*cos{7\pi \over 8}=-{2*\sqrt2\over 2}*sin{\pi \over 8}*cos{\pi \over 8}=-{\sqrt2\over 2}*sin{\pi \over 4}=\\=-{\sqrt2\over 2}*{\sqrt2\over 2}=-0.5.\)
Ответ -0.5.
