Бегун пробежал 400 метров за 60 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
Средняя скорость - это все пройденное расстояние поделить на все затраченное время. Тогда средняя скорость бегуна на дистанции равна \(v={400\over 60}={400*0.001\over 60/3600}=60*0.4=24\) км/ч.
Здесь метры перевели в километры, а секунды в часы.
Ответ 24.
При температуре 0 °C рельс имеет длину \(l_0=2.5\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t_0)=l_0(1+\alpha*t_0)\), где \(\alpha=1.2*10^{-5}\)(Со)‐1 коэффициент теплового расширения, \(t_0\) – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 1,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Подставим все известные в формулу и найдем неизвестную температуру \((2.5+0.0015)=2.5(1+1.2*10^{-5}*t) \Rightarrow t={{(2.5+0.0015)\over2.5}-1\over 1.2*10^{-5}}=50.\)
Ответ 50.
От пристани одновременно отправились катер и плот. Через 9 км катер развернулся и, пройдя еще 13 км, догнал плот. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 22 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Плот плыл по течению, а катер против течения. Пусть скорость течения равна \(x\) км/ч.
Тогда плот пошел 4 км по течению и был в пути \({4\over x}\) часов.
Катер за это время прошле 9 и 13 километров, но 9 он прошел против течения, а 13 километров по течению. Тогда катер был в пути \({9\over 22-x}+{9\over 22+x}+{4\over 22+x}\) часов. Приравняем выражения и получим уравнениe \({9\over 22-x}+{9\over 22+x}+{4\over 22+x}={4\over x}\), решив которое, найдем, что скорость течения равна 4 км/ч.
Ответ 4.
Найдите точку минимума функции \(y=x^3*e^x.\)
Находим производную \(y^\prime=3x^2*e^x+x^3*e^x=x^2(3+x)e^x\), приравниваем нулю и отыскиваем критические точки \(x = 0, x=-3.\) Далее критические точки проверяем на экстремум. Выясняем, что точка \(x = -3\) - точка минимума, так как в ней производная равна нулю и при переходе через эту точку меняет ссвой знак с отрицательного на положительный.
Ответ -3.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений не имеет решений.
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Новосибирске за каждый месяц 1892 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, какой была средняя температура в самом прохладном летнем месяце.
Исходя из диаграммы, самый прохладный летний месяц - это август. Среднемесячная температура в августе была 15 градусов.
Ответ 15.
Площадь закрашенной части круга, изображенного на клетчатой бумаге, равна 48. Найдите площадь не закрашенной части круга.
Закрашенная часть круга - это \(3/8\) всей площади. Тогда надо найти \(5/8\) площади круга.
Тогда искомая площадь равна \({48*{5\over 8}*{8\over 3}}=80.\)
Ответ 80.
65 студентов отправляются на экскурсию. Их случайным образом рассаживают в пять микроавтобусов по 13 человек в каждый. Какова вероятность того, что подруги Галя и Таня окажутся в одном микроавтобусе?
Воспользуемся классическим определением вероятности и теоремой об умножении вероятностей.
Вероятность того, что Галя окажется, например, в первом автобусе, равна \({13\over 65}.\) Вероятность того, что и Таня окажется в первом автобусе, уже будет равна \({12\over 64}\), так как одно место в нем занято Галей, а выбирать придется уже из 64 студентов. Вероятность того, что они обе в нем окажутся, равна \(P={13\over 65}*{12\over 64}.\) Так как автобусов 5 штук, а попадание в каждый из них является равновероятным, то искомая вероятность равна \(P=5*{13\over 65}*{12\over 64}=0.1875.\)
Ответ 0.1875.
Найдите корень уравнения \((0.1)^{x+2}=100.\)
\((0.1)^{x+2}=100 \Rightarrow 10^{-1(x+2)}=10^2 \Rightarrow x+2=-2 \Rightarrow x=-4.\)
Ответ -4.
В параллелограмме АВСD АК – биссектриса угла А, DM – биссектриса угла D. Найдите длину отрезка КМ, если известны стороны параллелограмма АВ=3, АD=11.
Так как \(AK, DM\) - биссектрисы, то треугольники \(ABK, MCD\) равнобедренные, тогда \(MK=BC-BK-MC=11-3-3=5.\)
Ответ 5.
Найдите площадь полной поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Плоащдь преставим как сумму площадей квадратов и прямоугольников \(S=5*1+6*1+1*3+4*1+2*1+2*1+\\+2(6*3+4*2)=74.\)
Ответ 74.
Величина угла β, выраженного в радианах, численно равна \(arccos(-0.5)-arcsin({\sqrt2 \over 2})\). Определите, чему равна величина угла β, выраженного в градусах.
\(arccos(-0.5)-arcsin({\sqrt2 \over 2})=\\=\pi-arccos(0.5)-arcsin({\sqrt2 \over 2})=180-60-45=75^o.\)
Ответ 75.
