Задание 14

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

К  графику  функции  \(y=\sqrt{4-x^2}\)  проведена  касательная,  параллельная  прямой  \(y=-\sqrt{3}x\). Найдите ординату точки пересечения этой касательной с осью Оу.

Решение: 

Из геометрического смысла производной функции - уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) имеет следующий вид: \(y=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0).\)

Найдем \(f^\prime={1\over2\sqrt{4-x^2}}(-2x)={-x\over \sqrt{4-x^2}}\).

Так как касательная и прямая \(y=-\sqrt{3}x\) должны быть параллельны, то их угловые коэффициенты равны, следовательно, получаем уравнение для нахождения точки касания, то есть \(x_0\):

\({-x\over \sqrt{4-x^2}}=-\sqrt{3},\) здесь необходимо отметить ограничения (область допустимых значений x): знаменатель не равен нулю, следовательно, \(x\neq\pm2\). Второе - выражение под корнем больше нуля: -2<x<2. И третье - так как справа стоит отрицательное число, то и слева должно быть отрицательное, то есть, получаем ограничение на x: x>0. В итоге имеем окончательно: 0<x<2.

Следовательно, решаем последнее уравнение: \(x^2=3(4-x^2) \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}.\) Отсюда выбираем только положительный корень, тогда \(x_0=\sqrt{3}\), \(f(x_0)=\sqrt{4-3}=1, f^\prime(x_0)=-\sqrt{3}\) 

и уравнение касательной принимает вид: \(y=1-\sqrt{3}x+3 \Rightarrow y=4-\sqrt{3}x\).

Ордината пересечения касательной с осью Oy\(y(0)=4.\)

Ответ 4.

Другие задачи темы: