Задание 13

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 
Дано уравнение \(\sqrt{sinx+3}=-2sinx.\) 

а) решите уравнение.

б) укажите корни, принадлежащие отрезку \([0; 2\pi].\)

Решение: 
а) Первое - область определения или ОДЗ. Слева стоит квадратный корень, следовательно, выражение справа должно быть неотрицатально, то есть, \(-1<=sinx<=0.\)

Возведем уравнение в квадрат, получим \(sinx+3=4sin^2x \Rightarrow 4sin^2x-sinx-3=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow sinx=1, sinx=-3/4.\)

Первое решение \(sinx=1\) не подходит в силу ОДЗ. Тогда, решая второе уравнение относительно \(x \), имеем \(x=(-1)^{n+1}arcsin(3/4)+\pi n, \) \(n-\) целое. Осталось выбрать решения, удовлетворяющие ОДЗ.

\(n=0: x=-arcsin(3/4), \\n=1: x=\pi +arcsin(3/4),\\n=-1: x=arcsin(3/4)-\pi,\\n=2: x=2\pi-arcsin(3/4),\\n=-2: x=3\pi+arcsin(3/4),
\\n=3: x=3\pi +arcsin(3/4) ,\\... \)

Выбираем решения, удовлетворяющие ОДЗ. Это будут \(x=2\pi-arcsin(3/4)+2\pi n, x=\pi+arcsin(3/4)+2\pi n, n-\) целое.

б) В заданный отрезок попадают корни \(2\pi-arcsin(3/4), \pi+arcsin(3/4).\)

При желании корни можно отобразить на единичной окружности для наглядности.

Рисунок: 
Другие задачи темы: