Задание 6

Номер варианта сайта alexlarin.net: 
Условие: 

В треугольнике ABC известно, что  угол C =900, а  медиана  CM    и  биссектриса  AL  пересекаются  в  точке  T,  причём  CT  =  CL.  Найдите  наибольший  острый  угол  треугольника  ABC.  Ответ  дайте  в  градусах.

Решение: 

Из треугольника TLC \({<}CTL={<}CLT.\)

Эти углы являются внешними углами треугольников \(ACT,ABL.\)

Тогда из свойства внешнего угла имеем \({<}CAT+{<}ACT={<}LAB+{<}LBA.\)

Тогда, учитывая, что, \({<}CAT={<}LAB,\) запишем \({<}LBA={<}ACT.\)

Треугольник \(ACM\)- равнобедренный по свойству медианы, проведенной к гипотенузе. Следовательно, \({<}CAM={<}ACM={<}LBA=45^0.\)

Ответ 45.

Рисунок: